Determinar la convergencia de la serie de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$

Question

He intentado utilizar el D'Alambert teorema para determinar la convergencia de la serie de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$ . $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)!!(2n+1)(2n)!!}{(2n-1)!!(2n)!!(2n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2n+2} = 1$ pero esta prueba no es concluyente.

Creo que una prueba de comparación podría dar un resultado, pero con el que la serie debería comparar?

Answer 1

Recordemos que

$$(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^n\,n!}$$

y

$$(2n)!!=2^n\,n!$$

Por lo tanto, la proporción es de

$$\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$$

Ahora el uso de la fórmula de Stirling

$$n!=\sqrt{2\pi n}(n/e)^n\left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)$$

para encontrar que

$$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\sqrt{\frac{\pi}{n}}+O\left(n^{-3/2}\right)$$

lo que demuestra que la serie diverge.

Answer 2

Sugerencia: $$ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\ge\frac{(2n-2)!!}{(2n)!!}=\frac1{2n} $$

Answer 3

Otro enfoque puede ser este. Tenemos, por series de Taylor, $$\arcsin\left(x\right)=\sum_{n\geq0}\frac{\left(2n\right)!}{4^{n}\left(n!\right)^{2}\left(2n+1\right)}x^{2n+1} $$ with $\left|x\right|<1 $, then if we take the derivative $$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sum_{n\geq0}\frac{\left(2n\right)!}{4^{n}\left(n!\right)^{2}}x^{2n} $$ and now it is clear that if you take the limit as $x\rightarrow1 $ la PREPA se va al infinito, por lo que la serie diverge.