Desde entonces se ha aclarado en los comentarios que el OP está específicamente interesado en probar las propiedades relevantes para la adición y la multiplicación.
Permítanme mostrarles cómo probar que la suma es conmutativa; esperemos que la idea de cómo hacer que los demás.
En primer lugar, tenemos que especificar los nuestros axiomas. Las pruebas no ocurren en un vacío, y la especificación de uno de los axiomas es especialmente importante cuando (a) una es la de probar algo un poco arcano (por ejemplo, la que podría depender el axioma de elección), o (b) cuando se trate de probar algo tan simple que es generalmente dado por sentado (como aquí). Los axiomas que voy a utilizar son los de (de primer orden) de la aritmética de Peano.
Nuestra prueba se compondrá de tres pruebas por inducción: la primera, y la tercera dentro de la segunda. Este es el precio de hacer todo desde cero!
En primer lugar, se establece que el $0+x=x$ todos los $x$. ($x+0=x$Todos los $x$ es uno de los axiomas de Peano.) Para ello, vamos a $\psi(x)$ ser la fórmula "$0+x=x$". Tenemos que $\psi(0)$ mantiene, es decir, $0+0=0$, ya que el $x+0=x$ todos los $x$ (incluyendo $x=0$). Ahora supongamos $\psi(n)$ mantiene; queremos calcular el $0+S(n)$. Así, uno de nuestros axiomas es $$a+S(b)=S(a+b),$$ so applying that here gives $$0+S(n)=S(0+n);$$ but our induction hypothesis means that $S(0+n)=S(n)$. So we've shown that $\psi(n)\implica \psi(S(n))$; by the induction scheme, then, this gives $\forall n\psi(n)$.
Ahora vamos a utilizar para demostrar la conmutatividad de la suma. Deje $\varphi(x)$ ser la fórmula "Para todos $y$, $x+y=y+x$". Por el resultado anterior, para todos los $y$ tenemos $y+0=0+y=y$, lo $\varphi(0)$ mantiene. Ahora supongamos $\varphi(n)$ mantiene; queremos comparar $S(n)+y$ $y+S(n)$ arbitrarias $y$.
Bueno, ya mencionado axioma nos permite calcular el último: $y+S(n)=S(y+n)$, y por nuestra inducción de la hipótesis de que esto es sólo $S(n+y)$. Así que ahora sólo tenemos que calcular la antigua. Esto tendrá una última prueba por inducción, esta vez con $n$ como parámetro:
Deje $\chi(x)$ ser la fórmula "$S(n)+x=S(n+x)$". Claramente tenemos $\chi(0)$, ya que el $S(n)+0=S(n)=S(n+0)$ (desde $a+0=a$ es un axioma). Ahora supongamos $\chi(m)$ mantiene, y veamos $S(n)+S(m))$. Por el anteriormente mencionado axioma relativo sucesor y, además, esto es $S(S(n)+m)$; por la hipótesis de inducción, esto es sólo $S(S(n+m))$. Pero $S(n+m)=n+S(m)$, así que esto es sólo $S(n+S(m))$. Por lo $\chi(S(m))$ mantiene. Por el esquema de inducción, esta muestra $\forall x\chi(x)$.
En particular, $S(n)+y=S(n+y)$, y que ya demostró que $y+S(n)=S(n+y)$; hemos demostrado que $\varphi(n+1)$ mantiene. Así que por el esquema de inducción, esta muestra $\forall x\varphi(x)$ - es decir, la adición es conmutativa!
Espero que usted puede ver cómo de similares argumentos se pueden utilizar para probar las otras propiedades básicas acerca de la adición y la multiplicación.
La asociatividad, conmutatividad, distributividad, y como no son propiedades de las funciones generales, o incluso de funciones en los enteros (o, incluso, "agradable" funciones!). Más bien, son las propiedades de una función puede tener o no tener. Aunque muchas de las funciones ¿ tienen estas propiedades, la imagen general es más complicado.
Creo que teniendo en cuenta que algunos ejemplos naturales de la no-conmutativa y no asociativo de las operaciones será de utilidad:
El ejemplo más básico es la exponenciación! Esto no es conmutativa ni asociativa, y no distribuir bien la multiplicación o adición:
$2^3=8\not=9=3^2$.
$(2^2)^3=4^3=64\not=256=2^8=2^{2^3}$.
$2^{3\times 3}=2^9=512\not=64=8\times 8=2^3\times 2^3$.
Etc. (Tenga en cuenta que la exponenciación no satisfacer algunas de las leyes que parecen vagamente como la distributividad: a saber, el derecho de la distributividad $(xy)^z=x^zy^z$, así como las leyes $x^{y+z}=x^yx^z$$(x^y)^z=x^{yz}$. Y estas leyes, por supuesto, son extremadamente útiles.)
Composición de transformaciones lineales (o la multiplicación de la matriz) no es conmutativa. Una transformación lineal $T$ es un mapa de un espacio vectorial a sí mismo (en realidad, lineal mapas puede ir de un espacio vectorial a otro, pero, a continuación, "cambiar el orden de composición" puede incluso no tener sentido: dado $f: U\rightarrow V$$g: V\rightarrow W$, lo que debe $f\circ g$?), con ciertas propiedades atractivas. Creo rotación, reflexión, dilatación, etc. (En realidad, transformaciones afines se que más se asemejan a tu intuición, transformaciones lineales tienen para fijar el origen -, pero lo que sea.) Es un buen ejercicio para venir para arriba con un ejemplo de esto.
- En general, si tengo dos funciones $f, g$ a partir de un conjunto a sí mismo, $f\circ g$ necesidad no es igual a $g\circ f$.
La multiplicación de los cuaterniones no es conmutativa.
- Y la multiplicación de octonions ni siquiera asociativa! Pero octonions son menos útiles que los cuaterniones.
Aunque álgebras Booleanas satisfacer un distributiva de la ley general de celosías de necesidad no; y hay un montón de no-distributiva de redes (por ejemplo, el entramado de subgrupos normales de un grupo no necesita ser distributiva, aunque será siempre satisfacer a los más débiles de la modularidad de la propiedad).
Se pregunta cómo probar que algo es conmutativa ni asociativa. Bien, demostrar que (suponiendo que es verdad!) de la misma manera que probar otra cosa: el uso de las definiciones, junto con los axiomas y las cosas que ya has probado.
Por ejemplo, considere la operación binaria $*$ $\mathbb{R}^2$ se define como $$(a, b)*(c, d)=(ac-bd, bc+ad)$$ (you might recognize this as complex multiplication in disguise). Then we can show that $*$ is commutative as follows: $$(a, b)*(c, d)=(ac-bd, bc+ad)=(ca-db, cb+da)=(c, d)*(a, b).$$ The first and third equalities are just the definition of $*$, y en el medio de la igualdad de los usos de la conmutatividad de la estándar de la multiplicación de números reales (que usted puede tomar para concedido, o probar primero).
