Es bien sabido que una de las formas más exitosas para atacar a los teoremas como el de punto fijo de Brouwer teorema de la curva de Jordan teorema etc es a través de la topología algebraica, más explícitamente computación en algunos grupos de homología de los objetos que intervienen en las situaciones.
Cuando en dimensiones bajas, hay algunas pruebas que pueden ser reducidos a un manejo de grupo fundamental en su lugar. Por ejemplo, Brouwer teorema de punto fijo en $D^2$ puede ser probado de una manera muy similar a como se hace normalmente a través de homología (utilizando functoriality y la no trivialidad de un grupo asociado a $S^n$, $n=1$ en el caso de $D^2$). También hay un argumento que demuestra Borsuk-Ulam teorema para los mapas de $S^2 \to S^2$.
Mi pregunta es: ¿hay métodos para demostrar de baja dimensión versiones (por supuesto, no "trivial", como la invariancia del dominio de la dimensión $1$) de la invariancia del dominio y de la curva de Jordan teorema que utilice el grupo fundamental de la paz? Gracias de antemano.
