De cualquier enteros consecutivos es coprime para el resto

Question

Después de leer esta pregunta, me cree una generalización de la misma.

Conjetura: Fix $k\in \mathbb N$. Entonces, para todos los $n\in \mathbb N$, $n+1,\ldots,n+k$ es coprime para el resto.

He intentado algunas formas elementales, pero no tuvo éxito.

Observación: Una de las consecuencias de esta conjetura es que existen infinitos números primos!

Answer 1

Sorprendentemente, la declaración es falsa una vez $k\ge17$, y el menor contraejemplo es la secuencia de longitud $17$ comienzan con $2184$. Este fue el resultado de una línea de comienzo del trabajo con Pillai, y, finalmente, envuelto por Brauer. Ver S. S. Pillai en números enteros Consecutivos trabajo de investigación?.

• Pillai mostró que para $k<17$, pero puede fallar para todos los $k$ $17$ $430$ - infinitamente a menudo, de hecho!

• En una secuencia de resultados, lo que fue mejorado hasta que, finalmente, Scott mostró que hay infinitamente muchos contraejemplos para $17\le k\le 2491906561$ . . .

• . . . y, a continuación, Brauer mostró que hay infinitamente muchos contraejemplos para cualquier $k\ge 17$.