Probar que si $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} $ es una función continua con $f^2, f^3$ analítica, a continuación, $f$ también es analítica

Question

Deje $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ ser una función continua tal que $f^2$ $f^3$ son analíticos. Demostrar que $f$ también es analítica.

Algunas ideas: En $z_0$ donde $f^2$ no $0$, $f^3$ $f^2$ analítica para $f = \frac{f^3}{f^2}$ es analítica en $z_0$ pero en $z_0$ donde$f^2$$0$, yo no soy capaz de demostrar que $f$ es analítica.

Answer 1

Primera regla en el caso de $f^2(z)\equiv 0$ o $f^3(z)\equiv 0$ ya que ambos implican $f(z)\equiv 0$ y hemos terminado.

Escribir $f^2(z)=(z-z_0)^ng(z)$, $f^3(z)=(z-z_0)^mh(z)$ con $n.m\in\mathbb N_0$, $g,h$ analítica y distinto de cero en $z_0$. Entonces $$(z-z_0)^{3n}g^3(z)=f^ 6(z)=(z-z_0) ^ {2m} h^2 (z)$$ implica $3n=2m$ (e $g^3=h^2$), por lo tanto si dejamos $k=m-n\in\mathbb Z$ tenemos $n=3n-2n=2m-2n=2k$$m=3m-2m=3m-3n=3k$. Especialmente, podemos ver que $k\ge 0$ y por lo tanto $$ f(z)=\frac{f^3(z)}{f^2(z)}=(z-z_0)^k\frac{g(z)}{h(z)}$$ es analítica en $z_0$.

Comentario: no necesitamos que $f$ sí es continua.

Answer 2

Si $f(z) = 0$ todos los $z$, entonces es analítica, y no hay nada más que mostrar. De lo contrario, asumen $f$ no es idéntica a cero. En un punto de $z_0$ donde $f(z_0) \ne 0$, $f(z) = \frac{f^3(z)}{f^2(z)}$ es analítica porque el cociente de dos funciones analíticas es analítico cuando el denominador es distinto de cero. En un punto de $z_0$$f(z_0) = 0$, la Unicidad Teorema para funciones analíticas que dice que hay un barrio de $z_0$ donde $f(z) = 0$ $z = z_0$ (de lo contrario se obtiene una secuencia de puntos de convergencia a $z_0$ $f$ cero en los puntos de la secuencia, etc...). En este barrio se consigue $\frac{f^3(z)}{f^2(z)} \rightarrow 0$$z \rightarrow z_0$, ya que el $\left| {\frac{f^3(z)}{f^2(z)} } \right| = \frac{\left| f^3(z) \right|}{\left| f^2(z) \right|} = \frac{\left| f^2(z) \right|^{\frac{3}{2}}}{\left| f^2(z) \right|} = \left| f^2(z) \right|^{\frac{1}{2}}$, que va de la a $0$ $z \rightarrow z_0$ (debido a $f^2$ es analítica y, por tanto, continua con $f^2(z_0) = 0$). Por lo $f(z) \rightarrow 0$$z \rightarrow z_0$. Ahora tenemos que $f(z)$ es analítica en un pinchazo en un barrio de $z_0$ y continua en $z_0$, y así es de hecho la analítica en $z_0$ a sí mismo como un corolario del Teorema de Morera.