Existe

Question

Deje $a,b\in\mathbb{R},~a<b$ y considerar la posibilidad de $f\colon[a,b]\to [a,b]$ continuo. Mostrar que $f$ tiene un punto fijo. es decir, que existe una $\xi\in [a,b]$$f(\xi)=\xi$.

Mi idea es considerar la función $$ g\colon [a,b]\[a-b,b]\subseteq\mathbb{R}, g(x):=f(x)-x. $$ Esta función es continua en $[a,b]$, así que podemos aplicar el Teorema del Valor Intermedio (IVT), diciendo que para $0\in [a-b,b]$ existe un $z\in [a,b]$$h(z)=0$.

Porque $$ f(\xi)=\xi\Leftrightarrow h(\xi)=0 $$ es $f(z)=z$.

Answer 1

La declaración original es trivial si $f(a)=a$ o $f(b)=b$. De lo contrario, $f(a)>a$$f(b)<b$, lo $g(a)>0$$g(b)<0$. Ahora usted puede utilizar el IVT como usted sugiere (pero desea reemplazar $h$ $g$ o al revés). También, $g$ como define los mapas a $[a-b,b-a]$, no $[a-b,b]$.