No conmutativa anillo Anillo Local

Question

Supongamos $R$ es un no-conmutativa anillo con 1. Deje $L$ ser la única máxima de la izquierda ideal de $R$.

Demostrar que $$R\setminus L=U(R),$$ where $U(R)=\{a\R\mid ab=1=ba\ \text{para algunas de}\ b\R\}$ is the set of units of $R$.

---

Estoy teniendo algunos problemas para que lo pruebe, y estoy aún empezando a sospechar que es falso. (Véase el Conjunto de no-unidades en la no-conmutativa anillo).

Me han demostrado resultados parciales como $L$ es de hecho una de dos caras ideal de $R$.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Si usted resultó que $L$ es en realidad de dos caras ideal, entonces felicitaciones, la difícil (o más ellusive - al menos para mí) es sobre:

Claramente $U(R) \cap L= \emptyset,$ lo contrario $L=R$. Es decir, $U(R) \subseteq R \setminus L$.

Ahora supongamos que $a \in R \setminus L$. A continuación, $Ra$ es una izquierda ideal no contenida en la única izquierda ideal maximal $L$. Es decir, es incorrecto, es decir,$Ra=R$. Esto significa que $ba=1$ algunos $b \in R$. Ahora, tenemos de nuevo $b \notin L$, para los si $b \in L,$ $1=ba \in L$ (debido a $L$ es un ideal de derecho) y $L=R,$ contradicción. Así podemos repetir el argumento de $b$ a obtener un$c \in R$$cb=1$. Pero ahora tenemos

$$a=1\cdot a=(cb)a=c(ba)=c \cdot 1=c,$$ así que tenemos $ab=1$, lo que demuestra que $a \in U(R)$.

Answer 2

Es cierto.

Usted puede demostrar que el conjunto de nonunits de un anillo es cerrado bajo la adición de si el anillo es local. (Creo que ya está aquí en matemáticas.SE, pero no lo pude encontrar.)

Usted puede conseguir en un montón de otras maneras también.

He aquí una prueba directa. Supongo que usted está de acuerdo $U(R)\subseteq R\setminus L$.

Si $x$ no $L$,$Rx=R$. Pero, a continuación, $yx=1$ implica $xy$ es un valor distinto de cero idempotente de $R$. El único distinto de cero idempotente de un anillo local es $1$, lo $x$ es una unidad.