La determinación de si algo es una de las características de la función

Question

Supongamos $X$ es una variable aleatoria continua con pdf $f_X(x)$. Podemos calcular su función característica como $\varphi_X(t)=\mathbb{E}[e^{itX}].$

Pregunta: Dada una función, decir $\psi(t)$, ¿cómo hace uno para mostrar que es una característica de la función?

(Escrito esto en mi teléfono - mis disculpas si hay pobres formato)

Answer 1

Permítanme estado el teorema he enlazado en mi comentario, por lo que esta pregunta no sin respuesta.

El teorema de Bochner

Si $\varphi:\mathbb{R}^d\to \mathbb C$ es un complejo de valores de la función de con $\varphi(0)=1$, continua en $0$ y no negativa definida en el sentido de que para $n\geq 1$ tenemos que $$ \sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n\varphi(z_j-z_k)\,\xi_j\bar{\xi}_k\geq 0,\quad \text{para }\;z_1,\ldots,z_n\in\mathbb{R}^d,\;\xi_1,\ldots,\xi_n\in\mathbb C, $$ a continuación, $\varphi$ es la función característica de una distribución (variable aleatoria) en $\mathbb{R}^d$.