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Question

El tema en la línea de asunto es un clásico de la aplicación del teorema de Gauss para el campo eléctrico.

El teorema de sí mismo, se establece que, dado un conjunto de cargos $q_i$ todos ubicados en el interior de una superficie cerrada, el flujo del campo eléctrico a través de la superficie es igual a $\frac{\sum_i{q_i}}{\epsilon}$.

A partir de eso, se puede construir una superficie cilíndrica alrededor de una sección de la línea, de modo que podemos igualdad de Gauss, con el resultado de lo que sabemos que es el flujo en ese caso:

$$ \frac{\sum_i{q_i}}{\epsilon} = E \cdot 2 \pi r l $$

Donde $r$ es la distancia desde la línea (es decir, el radio de la superficie cilíndrica) y $l$ es la longitud de la sección. Cuando se introduce el lineal de la densidad de carga $\lambda$ obtenemos:

$$ \lambda = \frac{\sum_i{q_i}}{l} $$

$$ \frac{\lambda}{\epsilon} = E \cdot 2 \pi r $$

$$ E = \frac{1}{2 \pi \epsilon} \cdot \frac{\lambda}{r} $$

Ahora estoy tratando de conseguir el mismo resultado con un proceso completamente diferente.

Si estamos de acuerdo con la siguiente definición de integral de Riemann:

$$ \int_a^b{f \left( t \right) dt} = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\sum_{i = 0}^n{h \cdot f \left( ih \right)}} $$

donde $h = \frac{b - a}{n}$, entonces podemos calcular el campo eléctrico a través de un proceso de aproximación.

Para empezar, tomamos un finito línea de longitud de la $l$, que yacía sobre el X-eje de coordenadas, y se divide en $n$ partes de igual longitud $h = l / n$. Cada parte contiene exactamente un punto de carga en $q_i$ ubicado en la coordenada X $i \cdot h$.

Si se mide el campo eléctrico en el (X,Y) las coordenadas de $(0,r)$ tenemos:

$$ E_i = \frac{1}{2 \pi \epsilon} \cdot \frac{q_i}{r^2 + y^2 h^2} $$

$$ E = \sum_i{E_i} = \frac{1}{2 \pi \epsilon} \cdot \sum_i{\frac{q_i}{r^2 + y^2 h^2}} $$

La introducción de $\lambda$:

$$ \lambda = \frac{q_i}{h} $$

$$ q_i = \lambda \cdot h $$

$$ E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} \cdot \sum_i{h \cdot \frac{1}{r^2 + y^2 h^2}} $$

Cuando el número de $n$ de las piezas se bifurca y $h$ tiende a $0$ el punto de cargos de acercarse el uno al otro y se convierten en una carga de la línea de la longitud de la $l$, y podemos convertir esta suma en una integral de Riemann:

$$ E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} \cdot \int_0^l{\frac{1}{r^2 + x^2}}{dx} $$

Para anti-deriva que la integral podemos aprovechar $arctan$ como sigue:

$$ \frac{d}{dx} \arctan{x} = \frac{1}{1 + x^2} $$

$$ \frac{d}{dx} \frac{\arctan{\frac{x}{r}}}{r} = \frac{1}{r^2 + x^2} $$

Por lo tanto:

$$ E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} \cdot \frac{\arctan{\frac{l}{r}} - 0}{r} $$

El original objetivo es encontrar el campo eléctrico generado por una línea infinita que se extiende en ambas direcciones, mientras que este es el campo eléctrico de un determinado segmento que abarca $[0, l]$; por lo que tendremos que calcular el anterior, cuando se $l$ diverge a infinito positivo y multiplicar el resultado por $2$:

$$ E_{TOT} = 2 \cdot \lim_{l \rightarrow + \infty} \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} \cdot \frac{\arctan{\frac{l}{r}}}{r} = 2 \cdot \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon} \cdot \frac{\pi}{2 r} = \frac{\lambda}{2 \epsilon r} $$

Este resultado difiere de la aplicación del teorema de Gauss por un $\pi$ en el denominador. Donde perdí la falta de $\pi$?

Gracias de antemano!

Answer 1

$$ E_i = \frac{1}{2 \pi \epsilon} \cdot \frac{q_i}{r^2 + i^2 h^2} $$

Aquí es donde reside el problema. En primer lugar, debe ser $1/(4\pi)$, a cuenta para el área de la superficie de la esfera (que se comporta como un punto de carga de una distancia, incluso si es un infinitesimal segmento de línea!). El siguiente problema es que la fuerza no es todo apunta hacia el origen: puntos en $(0,ih)$. Es claro que sólo queremos que la componente horizontal de la fuerza desde la vertical de los componentes con el tiempo debe cancelar por la simetría. Esto le da $$ \frac{1}{4\pi \epsilon} \frac{r}{\sqrt{r^2+i^2h^2}} \frac{q_i}{r^2+i^2h^2} $$ considerando el ángulo recto del triángulo. Así como una integral, esto se convierte en $$ \frac{\lambda r}{4\pi \epsilon} \int_{-\ell}^{\ell} \frac{dy}{(r^2+y^2)^{3/2}} \to \frac{\lambda r}{4\pi \epsilon} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dy}{(r^2+y^2)^{3/2}}. $$ Poner a $y=r\tan{\theta}$ da $dy=r\sec^2{\theta}\, d\theta$, los límites se vuelven $\pm \pi/2$, y así $$ E=\frac{\lambda r}{4\pi \epsilon} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dy}{(r^2+y^2)^{3/2}} = \frac{\lambda r}{4\pi \epsilon} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{r\sec^2{\theta} \, d\theta}{r^3\sec^{3}{\theta}} = \frac{\lambda}{4\pi\epsilon r} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos{\theta} \, d\theta = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon r}, $$ como debe ser.

Answer 2

Suponga que la línea de carga se extiende desde $z=-\ell/2$$z=\ell/2$. Dividimos la $z$-eje en $n$ cada uno de los subintervalos de longitud $h=\ell/n$. El incremento de carga en un subinterval es $\Delta q=\lambda h$.

Por lo tanto, el incremento en la contribución para el campo eléctrico en el $(r,0)$ a partir de un infinitesimal de carga de la $\lambda h$ $(0,ih)$ está dado por

$$\Delta \vec E=\frac{\lambda h}{4\pi \epsilon_0} \frac{\hat rr-\hat z(ih)}{(r^2+(ih)^2)^{3/2}}$$

con lo cual la explotación de la simetría y la suma de los rendimientos

$$\begin{align} \vec E&=\hat r \frac{\lambda h}{2\pi \epsilon_0}\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{r}{(r^2+(ih)^2)^{3/2}}\\\\ &=\hat r \frac {\lambda r}{2\pi \epsilon_0} \int_0^{\ell/2}\frac{1}{(r^2+z^2)^{3/2}}\,dz\\\\ &=\hat r \frac{\lambda (\ell/2)}{2\pi \epsilon_0 r\sqrt{r^2+(\ell/2)^2}} \end{align}$$

Dejando $\ell \to \infty$ nos encontramos con el campo eléctrico debido a una infinitamente largo de la línea de carga está dada por

$$\vec E=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0}$$

como iba a ser mostrado!