Si la norma en un espacio vectorial real o complejo normado se define por $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ donde $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es un producto interno, entonces la norma satisface la ley del paralelogramo $$ \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2. $$ Eso es fácil de demostrar, y es un poco más de trabajo, pero no mucho más, para demostrar que "sólo si" también se mantiene. (Eso se hace mostrando cómo definir el producto interior en función de la norma, y luego mostrando que ese producto interior te devuelve la misma norma).
Si quisiera demostrar que el espacio normado $L^1$ no es un espacio de producto interno, encontraría un contraejemplo a la ley del paralelogramo en ese espacio.
Así que mi pregunta es: ¿Existe alguna forma razonable de escribir una prueba de este tipo que no sea esa o cosas que sean en algún sentido trivialmente equivalentes a mostrar que la ley del paralelogramo falla?
