En la primera lectura, el Parlamento ha propuesto siete enmiendas de las que se han aceptado cinco.

Question

Las ecuaciones de Maxwell son \begin{align} \nabla\cdot\mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_0} & \nabla\times\mathbf{B} &= \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} + \mu_0 \mathbf{J} \\ \nabla\cdot\mathbf{B} & = 0 & \nabla\times\mathbf{E} &=- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}. \end{align} Se ve la luz de Helmholtz de la descomposición de estas ecuaciones puede ser visto como la fijación de partes independientes de los campos, con la $\nabla\cdot$ columna de fijación de la divergentes (irrotacional) de las piezas de $\mathbf{E}$ $\mathbf{B}$ e las $\nabla\times$ ecuaciones de la fijación de la solenoidal (divergenceless) partes.

Como sugiere la fórmula de Helmholtz de la descomposición, la parte divergente de $\mathbf{E}$ está dado por $$\mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3} \rho(\mathbf{x}',t) \operatorname{d}^3\mathbf{x}' \tag1$$ incluso cuando $\rho$ depende de $t$, como está escrito más arriba.

La declaración en $(1)$ parece violar la causalidad. No importa desde $\mathbf{E}_{\mathrm{sol}}$ también debe violar la causalidad de tal manera como para hacer que el campo eléctrico total obedecer a la causalidad. Mi pregunta es: ¿cuáles son los detalles que muestran cómo el acausal partes del Helmholtz descompuesto partes de $\mathbf{E}$ $\mathbf{B}$ cancelar (esp. ¿requiere la conservación de la carga)?

Dicho de otra manera, a partir de estas ecuaciones \begin{align} \mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t) & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3} \rho(\mathbf{x}',t) \operatorname{d}^3\mathbf{x}' \tag2 \\ \mathbf{E}_{\mathrm{sol}}(\mathbf{x},t) & = \frac{1}{4\pi} \int \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3} \times \left(\frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{x}',t)}{\partial t}\right) \operatorname{d}^3 x' \tag3\\ \mathbf{B}_{\mathrm{sol}}(\mathbf{x},t) & = - \frac{1}{4\pi} \int \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}'}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|^3} \times \left(\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{x}',t)}{\partial t} + \mu_0 \mathbf{J}(\mathbf{x}',t)\right) \operatorname{d}^3 x' \tag4 \end{align} ¿cuál es el proceso de transición a un manifiestamente causal forma de $\mathbf{E}$ $\mathbf{B}$ (por ejemplo, Jefimenko las ecuaciones), y qué partes de las dos partes de $\mathbf{E}$ por encima de cancelar en el proceso?

Answer 1

Me gustaría señalar en más detalle los problemas en la pregunta que se compara el puramente matemático de Helmholtz de la descomposición de un (casi) arbitraria campo de vectores $\mathbf{E(\mathbf{r})}$ a la solución de Coulomb de carga estática distribución de la densidad de las ecuaciones de Maxwell.

De acuerdo con el teorema de Helmholtz, de cualquier campo vectorial $\mathbf{E(\mathbf{r})}$ con ser descompuesto en un curl-libre (irrotacional) campo vectorial $\mathbf{a(\mathbf{r})}$ y una divergencia libre (solenoide) campo $\mathbf{b(\mathbf{r})}:$ $$\mathbf{E(\mathbf{r})}=\mathbf{a(\mathbf{r})}+\mathbf{b(\mathbf{r})}=-\nabla\phi(\mathbf{r})+\nabla\times \mathbf{A(\mathbf{r})} \tag 1$$ where $\phi(\mathbf{r})$ is a scalar potential and $\mathbf{A(\mathbf{r})}$ is a vector potential, which are given by: $$\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\nabla \mathbf{E(\mathbf{r'})}d^3r'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \tag 2$$ and $$\mathbf{A(\mathbf{r})}=\frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\nabla \times \mathbf{E(\mathbf{r'})}d^3r'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \tag 3$$ This decomposition can also be applied to the electric field solution of Maxwell's equation at any chosen time $t$. Thus you could formally enter the time as a parameter in the electric field decomposition, as has been done in the question. It is intriguing that the curl-free part of the decomposition eq. (2), which is equivalent to eq. (1) of the question, looks like the Coulomb solution of Maxwell's equations for a static charge distribution $$\frac{\rho(\mathbf{r})}{\epsilon_0}=\nabla\mathbf{E(\mathbf{r})}$$ and it is indeed the static, time independent field solution of Maxwell's equations for a static charge density distribution. But this does not imply any violation of causality, as suggested, because there is no evolution in time following from this mathematical formula as opposed to the solution of Maxwell's equations, which of course, obey causality. Actually, you need the causal, time dependent solutions of the Maxwell equations to Helmholtz-decompose them at a chosen time $t$ de acuerdo a la nca. (1),(2) y (3), que son equivalentes a las fórmulas (2) y (3) de la pregunta (y (4) si usted también hacer el análogo de la descomposición del campo magnético).

La "transición a la manifiestamente causal forma de $\mathbf{E}$ $\mathbf{B}$" se logra mediante el campo de las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en la descomposición. Esto no sólo garantiza que la relación de causalidad en la descompuesto campos, sino que también asegura la consistencia con adicionales físicamente las condiciones necesarias, como la conservación de la carga.

Answer 2

Creo que usted tiene el derecho de toda sospecha. En el supuesto de un tiempo arbitrario de la dependencia de la distribución de carga $\rho(\vec r, t)$, lo que contradice la ley de la conservación de la carga $$div \vec J=-\frac {\partial \rho}{\partial t}$$ Por ejemplo, usted no puede asumir que un punto de carga aparece de la nada en un lugar determinado.

Por lo tanto, su ley de Coulomb campo eléctrico de la solución correspondiente a una distribución de carga sólo puede contener, en principio, para un eterno estática (es decir, independiente del tiempo) la distribución de carga. También se mantiene aproximadamente en el limitado distancias para cambios lentos de la distribución de carga que son compatibles con la conservación de la carga como se desprende de la conocida retardado soluciones finita de propagación de veces en el campo eléctrico. Cuando tenga tiempo dependiente de cargos compatibles con la ecuación de continuidad, también te (tiempo de cambio), las corrientes y los campos magnéticos que usted tiene que considerar.

Answer 3

La suposición en la pregunta original, que hay algunos de cancelación entre el divergenceful parte de $\mathbf{E}$ y su solenoidal es falsa. Fue basado en el tipo de construcción prohibió en las preguntas/aclaraciones (escrito el campo solenoidal como campo total menos el divergeneful parte). En cambio, la expresión para el divergenceful parte de el campo no es el único, y una causal de construcción es posible utilizando la ecuación de continuidad para el 4-actual, $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot\mathbf{J} =0. \tag1$$
La forma más fácil de ver que no hay ninguna cancelación es mostrar que las ecuaciones que rigen el solenoidal y divergenceful parte de los campos de disociar. Comienza por tomar el tiempo derivado de la ley de Coulomb de Maxwell ecuación para obtener $\nabla \cdot \partial_t \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \partial_t \rho$. Por la ecuación de continuidad en el lado derecho se convierte en $\nabla\cdot \partial_t\mathbf{E} = -\frac{1}{\epsilon_0} \nabla\cdot\mathbf{J}$. Ahora esto es interesante, porque implica que el divergenceful partes de $\partial_t\mathbf{E}$ $\mathbf{J}$ son proporcionales, es decir, \begin{align} \frac{\partial \mathbf{E}_{\mathrm{div}}}{\partial t}& = -\frac{1}{\epsilon_0} \mathbf{J}_{\mathrm{div}}. \tag2 \end{align}

La ecuación (2) cambios en la forma de la curvatura basado en las ecuaciones de Maxwell para leer \begin{equation}\begin{aligned} \nabla \times \mathbf{E}_{\mathrm{sol}} & = - \frac{\partial \mathbf{B}_{\mathrm{sol}}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B}_{\mathrm{sol}} & = \mu_0 \mathbf{J}_{\mathrm{sol}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}_{\mathrm{sol}}}{\partial t}. \end{aligned} \tag3 \end{equation} Como es familiar desde el nivel de pregrado cursos de física, las Ecuaciones en (3) se combinan para formar las ecuaciones de onda para $\mathbf{E}_{\mathrm{sol}}$ $\mathbf{B}_{\mathrm{sol}}$ con el estándar de las causales de soluciones en términos de la función de Green para la misma.

Así que, ¿qué pasa con el divergenceful parte del campo eléctrico? Su definición de la ecuación, $$\nabla \cdot \mathbf{E}_{\mathrm{div}} = \frac{\rho}{\epsilon_0},$$ no parece permitir que la dinámica en la que todos, sólo una no-local de la relación que corrige $\mathbf{E}_{\mathrm{div}}$ en términos de $\rho$. La clave es que la dinámica de venir de la Ecuación (2). Que puede ser resuelto, de forma explícita, como $$\mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t) = \mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},0) - \frac{1}{\epsilon_0} \int_0^t \mathbf{J}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t') \operatorname{d}t'. \tag4$$ La ecuación (4) es causal: $\mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t)$ se fija en términos de un conjunto de valores iniciales dentro de su retroceso frente cono de luz en un espacio-como la hipersuperficie en la base del cono, y las influencias dentro del cono. Esto satisface el espíritu de la pregunta, si no a la letra.

Que $\mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t)$ puede ser expresada en términos de la Ecuación (2) del post original o de la Ecuación (4), a partir de esto, sugiere que debería ser posible se deforman continuamente entre los dos de un espacio como el cono, a través de la luz y el tiempo-como hasta el radio de su base se reduce a cero, la reducción de un volumen integral para una integral de línea. Demostrando que está a la izquierda para otra pregunta.

Lo que de la ecuación de onda de $\mathbf{E}$ obedece, lo que implica que el divergenceful parte de $\mathbf{E}$ obedece a uno, también. Que se pueden derivar de tomar el tiempo derivado de la Ecuación (2), y añadiendo que la divergencia del gradiente de (4), seguimiento de la ecuación de continuidad, se produce la ecuación de onda de la cuestión vinculada en este párrafo. Del mismo modo, la divergencia del gradiente de la Ecuación (2) del post original funciona, siempre que la superficie términos desaparecer.

Tenga en cuenta que el lineal de ecuaciones diferenciales parciales que el divergenceful parte de $\mathbf{E}$ obedece más estrictos que la ecuación de onda, por lo que puede permitir que algunas de las soluciones que ésta prohíbe.

P. S. Esto también responde a la original de la segunda parte de la pregunta, que fue gobernado demasiado amplia. Ya que no hay ninguna cancelación, sólo un equivalente causal de expresión para $\mathbf{E}_{\mathrm{div}}(\mathbf{x},t)$, no hay QFT consecuencias de una cancelación entre el$\mathbf{E}_{\mathrm{div}}$$\mathbf{E}_{\mathrm{sol}}$.