Galois representación en la Tate módulo de torsión de una curva elíptica

Question

Deje $E/K$ ser una curva elíptica con una vuelta de tuerca $E'/K$. Deje $f: E_{\overline K} \to E'_{\overline K}$ ser un isomorfismo. Deje $m(\sigma) = f^{-1}\circ f^\sigma$ ser el 1-cocycle correspondiente a este giro.

Quiero calcular la relación entre las representaciones de Galois en la Tate módulos de $T_\ell(E)$$T_\ell(E')$.

Deje $A(\sigma)$ $A'(\sigma)$ ser la representación en la Tate módulos. También se denotan por $F: T_\ell(E) \to T_\ell(E')$ el mapa inducida en la Tate módulos por $f$. Igualmente, os $M(\sigma)$ ser el mapa inducida por $m(\sigma)$.

De $f^\sigma(\sigma(P)) = \sigma(f(P))$, podemos ver que $M(\sigma)(\sigma(P)) = f^{-1}(\sigma(f(P)))$. En la Tate módulos, esto se convierte en: $$F^{-1}A'(\sigma)F = M(\sigma)A(\sigma).$$

Es esto correcto? Estoy preocupado por el caso donde $Aut(E_{\overline K})$ no está definido sobre $K$. En este caso, no veo por qué se $\sigma \to M(\sigma)A(\sigma)$ debe ser un grupo de homomorphism como $\sigma \to F^{-1}A'(\sigma)F$ es.

Answer 1

Lo que escribí es correcta. El punto es que $M(\tau\sigma) = M(\sigma)A(\tau)M(\sigma)A^{-1}(\tau)$. El uso de este, ambos lados están, de hecho, el grupo de representaciones.

Esto es debido a que $m(\sigma)^\tau = \tau(m(\sigma))\tau^{-1}$$m(\tau\sigma) = m(\tau)m^\tau(\sigma) = m(\tau)\tau(m(\sigma))\tau^{-1}$.

Tenga en cuenta que $\sigma \to M(\sigma)$ es un 1-cocycle en $H^1(G_K, Aut(T_\ell(E)))$ donde $Aut(T_\ell(E))$ $G_K$ la representación a través del adjunto de la representación. Por lo tanto, podemos pensar de $m \to M$ como el mapa de $H^1(G_K,Aut(E)) \to H^1(G_K, Aut(T_\ell(E)))$ inducida por la de $Aut(E) \to Aut(T_\ell(E))$.