Sí, los hay. La teoría de la libre contiguo a una categoría de la estructura de la participación de functors de diferentes varianzas es difícil; es más fácil entender el caso de sólo adyacentes finito de productos. La libre categoría con productos finite $C_p$ en algunas de las $C$ tiene como objetos de cadenas de objetos de $C$, y morfismos $C_p(a_i,b_j)=\coprod_i\prod j C(a_i,b_j)$. A continuación, el producto es determinado por la concatenación. Observe que todos los morfismos de un producto en $C_p$ factores a través de una proyección. Así la libre terminación en virtud de productos de alguna categoría de conjuntos no va a ser nada como una categoría de conjuntos! De hecho, la libre realización de un punto bajo finito productos es el opuesto de la categoría de conjuntos finitos, ya que la categoría de conjuntos finitos es la libre realización de un punto bajo finito co-productos.
La situación por libre contiguo límites finitos e internos homs es análogo, pero, por supuesto, mucho más complicado. Un objeto de la Cartesiano cierre de $C_c$ es, en esencia, cualquier expresión formal construido a partir de $C$ en términos de las operaciones de una Cartesianas cerradas categoría. De nuevo, si $C$ es una categoría de conjuntos, la libre Cartesiano de cierre no será, por razones similares a las anteriores: la única morfismos de $a^b$, por ejemplo, son aquellos que formalmente tiene que estar allí, que creo que la cantidad a las de factoring a través de la evaluación en un punto de $b$. Tales cosas son estudiados adecuadamente a través de 2-teoría de la mónada, o en su caso especial, Kelly la teoría de los clubes.
En cuanto a la característica universal, es lo que uno debería esperar: una estructura de preservación (es decir, la preservación de finito de productos, o todos los límites finitos y homs) mapa de cualquier completar en una categoría con la estructura adecuada es equivalente a un mapa de $C$.
EDIT: Basándose en los comentarios sobre el OP, parece que no he entendido lo que estabas buscando. Si $C\subset \hat C$ es una subcategoría de un Cartesiana cerrada categoría, entonces, ciertamente, tiene un Cartesiano de cierre dado por la intersección de todos los Cartesiana cerrada subcategorías de $\hat C$ contiene $C$. Esta existe por los mismos argumentos que dan todo tipo de cierres en los más clásicos del álgebra y la topología, excepto por una sola arruga. Si se define un Cartesiana cerrada categoría como uno en el cual los objetos de la satisfacción de las propiedades universales de los límites y homs simplemente existen, entonces la intersección de las coordenadas Cartesianas cerradas subcategorías $C_1,C_2$ $\hat C$ no necesita ser Cartesiana cerrada: $C_1$ $C_2$ puede contener objetos de $c,d$, y dos productos diferentes $(c\times d)_1,(c\times d)_2$, por lo que el $C_1\cap C_2$ contiene ningún producto de $c$ $d$. Hay dos maneras de evitar este problema: o bien insistir en la repleto (es decir, cerrado bajo isomorfismo) subcategorías, en cuyo caso la propiedad de la Cartesiano closedness como normalmente pasa a las intersecciones, o que suponga $\hat C$ viene equipado con opciones de límite interno y hom functors, es decir, las opciones de límites y hom-objetos. Luego tomar la intersección de las subcategorías que contiene $C$ y cerró bajo el elegido Cartesiano closedness de datos. Cualquiera de las dos opciones funciona muy bien. El primero es el más característico de la categoría teórica, mientras que la segunda tiene una más clásica.
Sin embargo, es importante tener en cuenta que, como se desprende del original de la respuesta anterior, el sistema de cierre en este sentido tiene que no tienen la característica universal que quería. Es decir, este generalmente es en ninguna parte cerca de la libre Cartesiana cerrada categoría en $C$. De nuevo, esto es perfectamente familiarizado desde los clásicos del álgebra y la topología: por ejemplo, el cierre de un subespacio $S$ de un compacto Hausdorff espacio de $T$ no tiene ninguna característica universal entre los compactos de Hausdorff espacios que contengan $S$, a menos que por suerte elija $T$ tal que $\bar S=\beta S$ es el de Stone-Cech compactification.
