Hacer todo continua con un valor real de las funciones de determinar la topología?

Question

Deje $X$ ser una topología en el espacio. Si conozco todas las funciones continuas de X a $\mathbb R$, la topología en $X$ ser determinado?

Sé el $\mathbb R$ aquí es, en cierto modo, artificial. Así que si esto es malo, es justo si $X$ es topológico, colector?

Answer 1

Espacios para la que esto es cierto se llaman completamente regular. De hecho, es un equivalente de la caracterización de completamente regular espacios de $X$ que su topología está determinado por el conjunto de $C(X)$ de los verdaderos valores de funciones continuas sobre ellos. En otras palabras, no hay una única completamente regular topología que hace todas estas y solo estas funciones continuas. La definición estándar, sin embargo, es esta: dado cualquier subconjunto cerrado $F$ punto $x\not\in F$, hay una continua real de la función con valores de $f$$X$, la cual es constante $1$ $F$ pero $f(x)=0$. Regular el espacio es completamente regular por el Urysohn del lema, y topológica de los colectores son ciertamente completamente regular.

Answer 2

Conifold la respuesta es esencialmente correcta, pero usted debe ser cuidadoso con lo que entendemos por "determinar la topología". Dado cualquier colección de $I$ real de funciones con valores en un conjunto $X$, existe un natural de la topología puede imponer a $X$, es decir, el más áspero de la topología que hace que cada elemento de a $I$ continuo. Explícitamente, esta topología en $X$ es la colección de uniones finitas de las intersecciones de los conjuntos de la forma $f^{-1}(U)$ donde $U\subseteq\mathbb{R}$ es abierto y $f\in I$.

Completamente regular espacios son exactamente los espacios de $X$, de forma que su topología coincide con esta topología inducida por el conjunto de $I$ de todos los real continua de las funciones con valores en $X$. En particular, si usted sabe un espacio completamente regular, entonces usted puede canónicamente recuperar su topología del conjunto de todos los continuo con un valor real de las funciones (en este sentido que "determinar la topología"). Sin embargo, esto no significa que su topología es la única posible topología en el set con la misma colección de la real continua con valores de funciones.

Por ejemplo, supongamos $T$ será el habitual de la topología en $[0,1]$, y deje $T'$ ser la topología en $[0,1]$ consta de conjuntos de la forma $U\setminus A$ donde $U\in T$ $A\subseteq\{1,1/2,1/3,\dots\}$ (intuitivamente, creo que de $T'$ como la topología usual modificado de manera que la secuencia de $(1/n)$ ya no converge a $0$). A continuación, una función de $[0,1]\to\mathbb{R}$ es continua con respecto a $T$ fib es continua con respecto a $T'$. En efecto, supongamos $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ es continua con respecto a $T'$. Entonces para cualquier abierto $V\subseteq\mathbb{R}$ punto $x\in f^{-1}(V)$ hay un barrio $W$ $x$ tal que $\overline{W}\subseteq f^{-1}(V)$, debido a $V$ contiene un barrio cerrado de $f(x)$. Pero no es difícil demostrar que un conjunto abierto $U\in T'$ contiene un $W$ alrededor de cada uno de sus puntos de iff en realidad $U\in T$. De ello se desprende que $f$ es continua con respecto a $T$, no sólo con respecto a $T'$. (La otra implicación es trivial, ya que $T\subset T'$.)

Así, en este ejemplo, aunque la topología $T$ es completamente regular, todavía hay otra topología $T'$ con el mismo real continua con valores de funciones. Todo lo que completa regularidad garantiza es que para cualquier topología $T'$, $T\subseteq T'$. (También te garantiza que $T'$, no puede ser completamente regular, a menos que $T=T'$, lo $T'$ debe ser algo patológico.)