Deje $(X, \Sigma, \mu)$ ser un espacio medible, con estrictamente positivo de medida $\mu$.
Deje $f: X \rightarrow (0, \infty)$ ser una función tal que $\int_X fd\mu=1$.
Demostrar que para cada $\mu$medible de establecer $E \in \Sigma$ $0 < \mu(E)<\infty$ la siguiente desigualdad se cumple:
$$\int_E \log fd\mu \leqslant \mu(E) \, \log \left[\frac{1}{\mu(E)} \right]$$
Estoy lidiando con este quiestion un poco y no parece encontrar una solución. Mi enfoque: Podemos definir la nueva medida $\nu = f \cdot \mu$. Desde $f>0$ $\mu$ estrictamente positivo, $\nu$ es estrictamente positivo.
Por otra parte, $\nu(X) \equiv \int_Xdv = \int_Xd(f\cdot\mu) =\int_Xfd\mu = 1$. Por lo tanto, por el Jansen desigualdad (concaved versión):
Para cada función integrable $g$ (de acuerdo a $\mu$ ) tal que $g:X \rightarrow (0,\infty)$ y cóncava de la función $F:(0, \infty) \rightarrow$ R (R de los números reales):
$$\int_X F\circ g d\nu \leq F \biggl(\int_X g d\nu \biggl)$$
Pensé acerca de la toma de $F(x) = \log(x)$, pero me parece que no puede encontrar el $g$ y cómo a la conclusión de que la integral general de conjunto dado $E$.
¿Alguien tiene una solución para esto? Gracias.
Editar: Ya lo he conseguido. Tome $g=f$ y para cada conjunto E por encima de definir $\nu_E = \frac{1}{\mu(E)} \cdot \mu$. Claramente, $\nu(E)=1$ no palestra por la desigualdad de Jensen, se obtiene:
$$\int_E \frac{1}{\mu(E)} \cdot \log f d\mu \leq \log \biggl(\int_E f \frac{1}{\mu(E)} \cdot d\mu \biggl)$$
Ahora jugamos con la última desigualdad y obtener una equivalente: $$\int_E \log fd\mu \leqslant \mu(E) \, \log \left[\frac{1}{\mu(E)} \right]$$
