Propiedades del problema de valor propio generalizado cuando es hermitiano

Question

Este La página de Wikipedia dice que, para el problema generalizado de valores propios $$\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{B}\boldsymbol{v},$$ si $\boldsymbol{A}$ y $\boldsymbol{B}$ son hermitianas y $\boldsymbol{B}$ es positivo-definido, entonces (1) los valores propios $\lambda$ son reales; (2) los vectores propios $\boldsymbol{v}_1$ y $\boldsymbol{v}_2$ con valores propios distintos son $\boldsymbol{B}$ -ortogonales ( $\boldsymbol{v}_1^*\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}_2=0$ ).

¿Cómo demostrar (2)? He encontrado la prueba de (1) como este pero no encuentro la prueba de (2). La referencia de esta propiedad en la página de Wikipedia tampoco da la prueba.

Answer 1

Supongamos que $Av_1=\lambda_1Bv_1,Av_2=\lambda_2Bv_2$ .

Entonces $\lambda_1v_2^*Bv_1=v_2^*Av_1=v_2^*A^*v_1=(v_1^*Av_2)^*=(\lambda_2v_1^*Bv_2)^*=\lambda_2v_2^*B^*v_1=\lambda_2v_2^*Bv_1$

En $\lambda_1,\lambda_2$ son reales y distintos, $v_2^*Bv_1=0$ .

Answer 2

Estas propiedades se derivan de las propiedades de las matrices hermitianas.

Sea $B=LL^*$ sea la descomposición Cholesky de $B$ entonces si $Ax= \lambda L L^* x$ tenemos $L^{-1} A L^{-*} y = \lambda y$ donde $y = L^* x$ .

Para (1) vemos que los valores propios del lápiz son los valores propios de $L^{-1} A L^{-*}$ por lo tanto, real.

Para (2) supongamos $\lambda_k, v_k$ son un par de valores propios y vectores propios del lápiz (con valores propios distintos), entonces $\lambda_k, L^*v_k$ son un par de valores propios y vectores propios de $L^{-1} A L^{-*}$ y por lo tanto $(L^* v_1)^* (L^* v_2) = v_1^* L L^* v_2 = v_1^* B v_2 = 0$ .