Forma Integral para la partición de la suma de la

Question

Después de la lectura de la derivación de la división discreta suma parece que mi libro se encuentra la generalización a la continua, caso trivial. Acaba de cambiar la sumatoria a una integral y multiplicar con un diferencial.

Sin embargo, no entiendo la validez de este, y me pregunto, donde el diferencial de vino. Yo entiendo que si es que fue una de Riemann-suma, y dejamos que sea el tamaño de paso ir a cero, pero veo que no hay paso en la expresión. Espero que alguien podría ayudar a med entender, aunque esto puede ser más de un problema matemático de la física.

Gracias de antemano!

Editar: Este es un clásico de la mecánica estadística.

La partición de la suma se define como sigue.

$$Z = \sum_{i=0} \exp(-\beta E_i)$$

Un par de páginas después de la partición de la suma de un gas ideal se calcula, y la expresión es dada como

$$Z = \frac{1}{h^3 N!} \int{ \exp(-\beta E)}dx_1...dp_N$$

Que claramente es mucho más conveniente para los cálculos en un continuo de caso. Aún no existe una explicación sobre cómo la discreta suma ahora es una parte integral, y esto es lo que me confunde.

Edit: Gracias por la sugerencia de leer la otra pregunta. Sin embargo, a mí me parece que la pregunta de direcciones el límite cuántico -> clásica, y que mi pregunta se refiere el límite discreto -continuo. De hecho, existen algunas similitudes, pero sin conocimiento de la cuántica, mecánica estadística no pude encontrar la respuesta que yo quería.

Answer 1

Descargo de responsabilidad: Esto no es realmente una respuesta, sino más bien un "comentario largo". Espero, sin embargo, puede proporcionar algunas ideas útiles. De todos modos, creo que esta pregunta puede ser, básicamente, considera un duplicado de ¿hay una manera de obtener la clásica función de partición de la cuántica, la función de partición en el límite de $h→0$?.

La primera versión de la función de partición,

$$\tag{1}\label{1} Z_{qm}=\sum_{\text{states}} e^{-\beta E_i}$$

es intrínsecamente mecánica cuántica, y tiene poco sentido en la mecánica clásica, a menos que usted está considerando algunas modelo de sistema con un número discreto de estados (como el modelo de Ising).

Tenga en cuenta que el índice de $i$ \ref{1} debe ser interpretado como que se ejecutan sobre los estados del sistema, y no sobre los niveles de energía. En la mecánica cuántica, el número de estados de un sistema es, en general, discreto, y por lo tanto una expresión como \ref{1} es significativo. Usted puede transformar en una suma de los niveles de energía, si usted quiere, por escrito

$$\tag{2}\label{2} Z_{qm} = \sum_{\text{energy levels}} g_i e^{-\beta E_i}$$

donde $g_i$ es la degeneración de la energía a nivel de $E_i$, es decir, el número de estados cuánticos diferentes correspondientes a este nivel de energía.

En la mecánica clásica, tiene un continuum de los estados, que llamamos el espacio de fase. Cada punto de $P=(\mathbf x_1, \dots, \mathbf x_N,\mathbf q_1, \dots, \mathbf q_N)$ en el espacio de fase corresponde a un diferente estado físico. Por lo tanto una expresión como \ref{1} tiene ningún significado en la física clásica. La correspondiente expresión clásica es, de hecho,

$$\tag{3}\label{3} Z_{cm} = \frac 1 {h^{3N} N!} \int e^{-\beta H (p,q)} d^N \mathbf p d^N \mathbf x$$

Sin embargo, sabemos que la mecánica clásica es una aproximación de la mecánica cuántica. Por lo tanto, bajo alguna condición que debe ser capaz de aproximar \ref{1} con \ref{2}:

$$Z_{qm} \approx Z_{cm}$$

Rigurosamente demostrar que podemos hacer esta aproximación es bastante engorroso. En K. Huang, de la Mecánica Estadística, la segunda edición del párrafo 9.2 usted puede encontrar una rigurosa prueba de este resultado para el caso de que no interactúan entre partículas (gas ideal), pero el caso general es bastante engorroso.

Usted puede encontrar otra prueba en este artículo (hay un paywall, aunque), que también considera principalmente un gas ideal.

Otra, más simple derivación en el caso de una sola partícula en 1D se puede encontrar en estas notas de la conferencia (par. 2.1.1).

He estado pensando en una manera de explicar la idea general de que tal aproximación es en términos simples, sin confiar demasiado en la mecánica cuántica conceptos, pero tengo que admitir que he encontrado ninguna explicación que no mudo por el concepto excesivamente. En otras palabras, no puedo ofrecer ninguna explicación que no sea una "mentira", y la mejor sugerencia que puedo darte es que, de hecho, aprender algo de mecánica cuántica y, a continuación, echar un vistazo a la derivación de una de las fuentes que he citado.

En particular, se nota que aunque no mecánica cuántica, la derivación puede ser intentado, usted nunca será capaz de obtener de ella:

• El factor de $h^{3N}$, que llegan desde el espacio de fase de cuantización. En cierto sentido, como explica también por knzhou en su respuesta, este provenir del hecho de que un estado cuántico ocupa aproximadamente un volumen $h$ en el espacio de fase.
• El factor de $N!$, que proviene de la indistinguishability de partículas cuánticas. En puramente mecánica clásica, este factor debe ser puesto en la Z por la mano, para evitar el cómputo doble de las estadísticas que sólo se diferencian por una permutación de partículas idénticas. Observe que incluso si en la mecánica clásica de partículas siempre son distinguibles, todavía son idénticos, es decir, el clásico de Hamilton mantiene sin cambios si cambio de la etiqueta de dos átomos. Debido a esto, usted necesita el factor de $N!$ en la mecánica clásica. Sin embargo, se trata de forma cuántica indistinguishability.

Answer 2

Esto es definitivamente un trivial paso. La clave está en que el semiclásica límite, hay un estado cuántico por volumen $h$ del espacio de fase (ver mi pregunta aquí). Usted puede ver una versión básica de este en la aproximación WKB, $$\oint p \, dx = (n + \text{const.}) \, h$$ donde la constante depende de las condiciones de contorno, y es insignificante en la semiclásica límite de $n \gg 1$, o incluso el modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno, $$\oint L \, d \theta = n h$$ desde $(L, \theta)$ son el espacio de fase variables tan buena como la de $(p, x)$. Es por eso que podemos reemplazar el quantum de la suma sobre los estados con una clásica integral sobre el espacio de fase. (Tenga en cuenta que la suma de los estados es necesariamente cuántica; no hay tal cosa como una energía eigenstate en la mecánica clásica. Si su libro es que dicen que todo es clásica, es ser deshonesto!)

Answer 3

Vamos a tomar uno de los clásicos de la partícula confinada en un volumen $V$. El número de estados por intervalo de energía de $ \Delta E$ será: $\Delta i=(4 \pi p^2\Delta p V)/h^3 = 4 \pi (2 m^3 E)^{1/2} \Delta E V)/h^3$ y vemos que $ \Delta E_i=\Delta E /\Delta i $ tiende a cero cuando $V$ tiende a infinito. Para una partícula función de partición tenemos: $Z_1=\sum (\ e^ {-\beta E_i} \Delta E_i/\Delta E_i)=[[\sum (4 \pi /h^3)(2 m^3 E_i)^{1/2} \ e^ {-\beta E_i} \Delta E_i]]V$ , la expresión en un par de corchetes es una suma de Riemann, que puede ser sustituido por la integral al $V$ tiende a infinito. Por supuesto, un ejemplo de una sola partícula es tomado por la sencillez

Answer 4

Una suma siempre puede ser convertido en una parte integral mediante el uso de funciones delta.

$$\sum_i e^{- \beta E_i} = \sum_i \frac{1}{A} \int d^N q \, d^N p ~ \delta(q-q_i)\delta(p - p_i) e^{- \beta H(q,p)}$$

El factor de normalización $A$ fue introducido por la mano para que coincida con las dimensiones en ambos lados. El estado marcados por $i$ es asumido a ser especificada por el espacio de fase variables$q_i$$p_i$. Cambiar el orden de integración y totalización, uno tiene

$$\sum_i e^{- \beta E_i} = \frac{1}{A} \int d^N q \, d^N p \sum_i \delta(q-q_i)\delta(p - p_i) e^{- \beta H(q,p)}$$

donde la suma de $\sum_i$ es sobre todos los estados del sistema. Desde el espacio de fase variables totalmente especificar qué estado se encuentra el sistema, la expresión $\sum_i \delta(q-q_i)\delta(p - p_i)$ debe ser la identidad, similar a la integridad de las relaciones por lo general se encuentra en QM. Por lo tanto,

$$ \sum_i e^{- \beta E_i} = \frac{1}{A} \int d^N q \, d^N p ~ e^{- \beta H(q,p)} $$

como afirma su libro de texto. La fijación del factor de normalización $A$ requiere mecánica cuántica consideraciones, sin embargo, y a otros, ya han dado buenas respuestas para esto.