Suma Impar Fracciones a Uno

Question

De la lista $\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{9},\frac{1}{11}$..... es posible elegir un número limitado de términos que se suma a uno? Esto se puede hacer incluso con fracciones: $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{12},\frac{1}{24}$

Answer 1

Una representación de una fracción como la suma de fracciones con numerador 1 y diferentes denominadores se llama Egyption fracción, porque esa era la manera en que las fracciones fueron escritas en el antiguo Egipto. Es claro que para 1, se debe tener un número impar de sumandos, porque de lo contrario el numerador de la suma sería aún y el denominador impar. Como resulta, el número mínimo es de 9, y no son las 5 siguientes soluciones: $$\begin{align} 1&=\frac13+\frac1{ 5}+\frac1{ 7}+\frac1{ 9}+\frac1{ 11}+\frac1{ 15}+\frac1{ 35}+\frac1{ 45}+\frac1{ 231}\\ 1&=\frac13+\frac1{ 5}+\frac1{ 7}+\frac1{ 9}+\frac1{ 11}+\frac1{ 15}+\frac1{ 21}+\frac1{ 231}+\frac1{ 315}\\ 1&=\frac13+\frac1{ 5}+\frac1{ 7}+\frac1{ 9}+\frac1{ 11}+\frac1{ 15}+\frac1{ 33}+\frac1{ 45}+\frac1{ 385}\\ 1&=\frac13+\frac1{ 5}+\frac1{ 7}+\frac1{ 9}+\frac1{ 11}+\frac1{ 15}+\frac1{ 21}+\frac1{ 165}+\frac1{ 693}\\ 1&=\frac13+\frac1{ 5}+\frac1{ 7}+\frac1{ 9}+\frac1{ 11}+\frac1{ 15}+\frac1{ 21}+\frac1{ 135}+\frac1{ 10395} \end{align}$$ También hay soluciones de longitud 11, 13, 15,..., y se puede demostrar que cada longitud impar $\ge9$ es posible. Esta información (y más referencias) se puede encontrar en este artículo.