Preguntas sobre la definición de una Categoría

Question

Este es el siguiente definición de una categoría en la que estoy usando

Ahora me corrija si estoy equivocado, pero nada de forma explícita en la definición de una categoría por encima de los estados que para cualquiera de los dos objetos $X$, $Y \in \text{Obj}(C)$ debe existir un morfismos $f \in \text{Hom}_C(X, Y)$ correcta?

Pero en el texto que describe la composición, la mayoría de existir un morfismos $f \in \text{Hom}_C(X, Y)$ para cualquiera de los dos objetos $X$, $Y \in \text{Obj}(C)$, porque necesitamos que para la composición de morfismos. Así que no puede haber ningún vacío $\text{Hom}_C(X, Y)$ clases correcta?

Mi afirmación realizada en el párrafo anterior sería entonces trivialmente a probar el siguiente.

Deje $C$ ser una categoría y supongamos $f \in \text{Hom}_C(X, Y)$ para algunos objetos $X, Y \in \text{Obj}(C)$, entonces existe un morfismos $g \in \text{Hom}_C(Y, X)$

Tiene todo lo que he dicho anteriormente ha sido correcta?

Answer 1

Sí, puede suceder que el $\operatorname{Hom}_C(X,Y)$ es la clase vacía.

No, eso no invalida la parte sobre la composición. Si $\operatorname{Hom}_C(X,Y)=\emptyset$, entonces es vacuously cierto que para cada $f\in \operatorname{Hom}_C(X,Y)$$g\in \operatorname{Hom}_C(Y,Z)$, tenemos una composición de morfismos $g\circ f$.

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Un ejemplo es la categoría de los campos y el campo homomorphisms: Si dos campos tienen diferentes características, no es de morfismos entre ellos.

Answer 2

Los axiomas del estado, que hay una asignación

$$ Hom(X,Y) \times Hom(Y,Z) \a Hom(X,Z) $$

pero esto no implica que $Hom(X,Y),Hom(Y,Z)$ $Hom(X,Z)$ son no vacíos.

De hecho, si alguno de $Hom(X,Y),Hom(Y,Z)$ está vacía, entonces el dominio de la querían asignación está vacía, así que podemos aprovechar la asignación a ser el conjunto vacío. De hecho, el conjunto vacío es un mapeo $\emptyset \to A$ para cualquier clase de $A$. (También es único, ya que ninguna otra de esas asignaciones existir).

Para un simple contraejemplo, tomar la $\bf Set$ categoría hecho de conjuntos y funciones, y observar que $Hom(\{42\},\emptyset)$ está vacía, de lo contrario podríamos tener un morfismos/función $f:\{42\}\to\emptyset$$f(42)\in\emptyset$.

Discreto (poset) también las categorías de proporcionar contraejemplos. Tome $\{0,1\}$ como objetos, y sólo el dos de identidad morfismos $id_0,id_1$. Esto hace que una categoría, incluso si $Hom(0,1)=Hom(1,0)=\emptyset$.

En la mayoría, la composición axioma implica que, si $Hom(X,Y),Hom(Y,Z)$ son no vacíos, entonces $Hom(X,Z)$ también es no vacío. Esto es porque se puede tomar dos morfismos $f\in Hom(X,Y),g \in Hom(Y,Z)$ y componer como $g\circ f \in Hom(X,Z)$.

$Hom(W,W)$ siempre es no vacío a causa de la identidad de morfismos.