Hace un polinomio que está delimitada por debajo de disponer de un mínimo global?

Question

Debe una función polinómica $f \in \mathbb{R}[x_1, \ldots, x_n]$ que es inferior delimitada por algunos $\lambda \in \mathbb{R}$ tiene un mínimo global de más de $\mathbb{R}^n$?

Answer 1

No. El polinomio $f(x, y) = (1 - xy)^2 + x^2$ está acotado abajo por $0$, en realidad no puede tomar el valor de $0$, pero puede tomar el valor de $\epsilon$ cualquier $\epsilon > 0$. Me enteré de este ejemplo de Richard Dore en MO.

Answer 2

@Agustí Roig. $f$ no tiene puntos críticos en el interior del disco, así que hay que mirar por el mínimo del círculo unidad. Una forma sería la de parametrizar $x=\cos\theta, y=\sin\theta$, y minimizar.