Este último hecho desencadenó un trágico conflicto, para poner fin al cual fue necesario demasiado tiempo.

Question

Sucede a menudo en matemáticas que la respuesta a un problema que es "conocido" mucho antes de que nadie sabe cómo demostrarlo. (Algunos ejemplos de interés contemporáneo se encuentran entre el Milenio Premio problemas: E. g. Yang-Mills existencia se cree que el verdadero basado en las ideas de la física, y la hipótesis de Riemann, se cree que es verdad, porque sería una terrible vergüenza si no lo era. Otro buen ejemplo es Schramm–Loewner evolución, donde de nuevo la respuesta fue anticipada por las ideas de la física.)

Más raros son los casos en que una matemática abstracta "idea" flota de alrededor durante muchos años, antes incluso de una rigurosa definición o interpretación puede ser desarrollado para describir la idea. Un ejemplo de esto es el umbral de cálculo, en el que una misteriosa técnica para la comprobación de las propiedades de ciertas secuencias existido durante más de un siglo antes de que nadie entiende por qué la técnica trabajado, de un modo riguroso.

Me parece que estos casos de las ideas matemáticas sin una rigurosa interpretación fascinante, porque parece que a menudo conducen al desarrollo de radicalmente nuevas ramas de las matemáticas$^1$. ¿Cuáles son otros ejemplos de este tipo?

Principalmente estoy interesado en ejemplos históricos, pero contemporáneo (es decir, ideas que aún no han sido rigurosamente formulado) también son bienvenidos.

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1. Nota: tengo algunos ejemplos específicos en mente que voy a compartir como una respuesta, si nadie más hace.

Answer 1

La noción de probabilidad ha estado en uso desde la edad media, o tal vez antes. Pero se tomó un buen tiempo para formalizar la teoría de la probabilidad y dándole una rigurosa base en el medio del siglo 20. De acuerdo a wikipedia:

Ha habido al menos dos intentos exitosos para formalizar la probabilidad, es decir, la prueba de Kolmogorov formulación y la Cox formulación. En la prueba de Kolmogorov la formulación, conjuntos son interpretados como eventos y probabilidad a sí misma como una medida en una clase de conjuntos. En Cox del teorema, la probabilidad es tomado como una primitiva (es decir, no se volvieron a analizar) y el énfasis está en la construcción de una coherente de asignación de valores de probabilidad a las proposiciones. En ambos casos, las leyes de la probabilidad son los mismos, salvo por detalles técnicos.

Existen otros métodos para la cuantificación de la incertidumbre, tales como la Dempster–Shafer teoría o la teoría de la posibilidad, pero son esencialmente diferentes y no compatibles con las leyes de la probabilidad como se entiende normalmente.

Answer 2

La geometría euclidiana. Usted piensa que el cálculo fue la falta de conocimiento riguroso? La geometría no Euclidiana? Cómo sobre el viejo y simple geometría Euclidiana sí mismo? Usted ve, incluso a pesar de Euclides y sus Elementos inventado riguroso de las matemáticas, aunque fue pionera en el sistema axiomático, a pesar de que durante miles de años fue el estándar de oro de razonamiento lógico - que no era riguroso.

Los Elementos está estructurada para que parezca como si fuera abiertamente a los estados de sus primeros principios (el tristemente célebre postulado paralelo es uno de ellos), y como si se demuestra todos sus proposiciones a partir de los primeros principios. Para la mayor parte, se logra el objetivo. En lugares destacados, a pesar de que las pruebas a las que hacer uso de presunciones no declaradas. Algunas pruebas son flagrantes no pruebas: demostrar lado-ángulo-lado (SAS) de la congruencia de triángulos, Euclides nos dice sólo "aplicar" un triángulo a otro, moviendo de manera que sus vértices terminan coincidiendo. No hay axioma sobre el movimiento de una figura a otra! Otras pruebas tienen más insidioso omisiones. En el diagrama, ¿existe algún punto donde los círculos se intersectan? Es "visualmente evidente", y Euclides se supone que se cruzan a la vez que comprueban la Proposición 1, pero en el supuesto de no seguir a partir de los axiomas.

En general, los Elementos presta poca atención a las cuestiones de si las cosas realmente se cruzan en los lugares que usted esperaría de ellos, o si un punto está realmente entre los otros dos puntos, o sea un punto realmente se encuentra en un lado de una línea o la otra, etc. Todos "sabemos" de estos conceptos, pero para evitar la trampa de, digamos, una prueba falsa de que todos los triángulos son isósceles, una aproximación rigurosa a la geometría debe abordar estos conceptos.

No fue hasta el trabajo de Pascua, Hilbert, y otros en la década de 1800 y principios de 1900 para verdaderamente rigurosos sistemas de sintético de la geometría para ser desarrollado, con la axiomática de la definición de "intermediación" ser una clave de la nueva idea fundamental. Sólo entonces, milenios desde que comenzó el viaje, fueron los elementos de la geometría Euclidiana verdaderamente en cuenta.

Answer 3

Natural transformaciones son un "natural" es un ejemplo de esto. Los matemáticos se conocía desde hace tiempo que ciertos mapas-por ejemplo, la canónica isomorfismo entre un finito-dimensional espacio vectorial y su doble doble, o las identificaciones entre las variadas definiciones de homología de grupos--eran más especiales que otros. El deseo de tener una rigurosa definición de "natural" en este contexto led de Eilenberg y Mac Lane para desarrollar la categoría de teoría. Como Mac Lane supuestamente :

"Yo no inventar categorías para el estudio de functors; la he inventado ellos para el estudio de transformaciones naturales."

Answer 4

Siguientes a partir de la continuidad de ejemplo, en el que el $\epsilon$-$\delta$ formulación finalmente se convirtió en omnipresente, puedo presentar la noción de infinitesimal. Tomó hasta Robinson en la década de 1950 y principios de los 60, antes de que hayamos tenido "el derecho de la construcción" de infinitesimals a través de ultrapowers, de una manera que hizo infinitesimal manipulación totalmente rigurosos como una forma de lidiar con los reales. Ellos fueron una herramienta muy útil para siglos antes, con (por ejemplo) de Cauchy utilizando regularmente, tratando de formalizar ellos pero no se consigue, y con Leibniz del cálculo se define exclusivamente en términos de infinitesimals.

Por supuesto, hay otros sistemas que contienen infinitesimals - por ejemplo, el campo formal de la serie de Laurent, en el que la variable puede ser considerada como un infinitesimal - pero, por ejemplo, el infinitesimal $x$ no tiene una raíz cuadrada en este sistema, así que no es ideal como un lugar en el que hacer el análisis.

Answer 5

Los conjuntos. Tan tarde como el siglo xx, Bertrand Russell demostró que una teoría principal de ellos era contradictoria, porque lo llevó a la Paradoja de Russell: el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, contienen en sí? La solución fue aceptada la teoría de conjuntos ZF.

Otro ejemplo que salta a la mente es el recuento: la aritmética de Peano fue axiomatized en el siglo xix (y ha sido considerablemente revisada desde). O algoritmos.

Lo que plantea el punto de que, supongo, todavía estamos buscando la mejor base para las matemáticas en sí.