Aquí está la motivación de los resultados de los conjuntos; recordemos que el producto cartesiano $\mathop{\times}_{i\in I}X_i$ se define como el conjunto de todas las funciones de $f\colon I\to \cup X_i$ tal que $f(i)\in X_i$ todos los $i\in I$.
Teorema. Deje $\{X_i\}_{i\in I}$ ser una familia de conjuntos, y deje $P=\mathop{\times}\limits_{i\in I}X_i$ ser su producto cartesiano, y vamos a
$\pi_{i}\colon P\to X_i$ por cada $i\in I$ ser el mapa definido por $\pi(\mathbf{f}) = f(i)$. Entonces, si $A$ es cualquier conjunto, y $g_i\colon A\to X_i$ es una familia de funciones de$A$$X_i$, entonces existe un único $g\colon A\to P$ tal que $g_i=\pi_i\circ g$ todos los $i\in I$.
Prueba. Definir $g(a)$ a ser la función que se asigna a $i\in I$$g_i(a)$. La singularidad no es difícil de demostrar.QED
Si se piensa en el producto cartesiano como un conjunto de "tuplas" indexados por $I$, $g(a)$ es sólo la tupla que ha $g_i(a)$ $i$th de coordenadas.
Teorema. Deje $\{X_i\}_{i\in I}$ ser cualquier familia de conjuntos, y deje $(\mathbf{P},\{p_i\})$ ser tal que $\mathbf{P}$ es un conjunto, $p_i\colon\mathbf{P}\to X_i$ es una familia de funciones, y con la propiedad de que para cada conjunto $A$ y todos los de la familia de los mapas de $g_i\colon A\to X_i$, existe una única función de $g\colon A\to\mathbf{P}$ tal que $g_i = p_i\circ g$. Entonces existe un único bijection $\chi\colon\mathbf{P}\to P$ tal que $p_i = \pi_i\circ \chi$ (y, por tanto,$\pi_i=p_i\circ\chi^{-1}$).
Prueba. Desde el anterior teorema y la propiedad del producto cartesiano, ya que disponemos de un conjunto de $\mathbf{P}$ y una familia de mapas en la $X_i$, no existe un único $\chi\colon \mathbf{P}\to P$ tal que $p_i=\pi_i\circ\chi$. Tenemos que mostrar que $\chi$ es un bijection.
Ahora, $P$ es un conjunto y tenemos una familia de mapas en la $X_i$ (es decir, el $\pi_i$), por lo que por nuestra hipótesis en $P$, existe una única función de $\psi\colon P\to\mathbf{P}$ tal que $\pi_i =p_i\circ\psi$.
Ahora, considere el mapa de $\psi\circ\chi\colon \mathbf{P}\to \mathbf{P}$. Tenemos
$$p_i = \pi_i\circ\chi = p_i\circ(\psi\circ\chi).$$
Por la singularidad de la cláusula de la propiedad de $\mathbf{P}$, debemos tener $\psi\circ\chi = \mathrm{id}_{\mathbf{P}}$. Simétricamente, ya que
$$\pi_i = p_i\circ\psi = \pi_i\circ(\chi\circ\psi),$$
la singularidad de la cláusula para el producto cartesiano muestra que $\chi\circ\psi=\mathrm{id}_{P}$. Por lo tanto, $\psi=\chi^{-1}$, lo $\chi$ es invertible, como se desee. QED
Es decir, la propiedad de tener una familia de mapas en la $X_i$ tal que para cualquier conjunto con los mapas en el $X_i$ existe un único mapa en el producto lo que hace que "desplazamientos de los triángulos" determina completamente el producto cartesiano de hasta un (único) bijection.
Ahora, para el subproducto de conjuntos, que es distinto de la unión.
Teorema. Deje $\{X_i\}_{i\in I}$ ser una familia de conjuntos, y deje $C=\cup_{i\in I}(X_i\times\{i\})$ ser sus distintos de la unión; deje $\iota_j\colon X_j\to C$ ser el mapa definido por $\iota_j(x) = (x,j)$. Entonces, si $A$ es cualquier conjunto y $g_i\colon X_i\to A$ es cualquier familia de mapas de la $X_i$$A$, entonces existe un único $g\colon C\to A$ tal que $g_i = g\circ \iota_i$ por cada $i\in I$.
Prueba. Definir $g(x,i) = g_i(x)$. La singularidad es fácil de demostrar. QED
Teorema. Deje $\{X_i\}_{i\in I}$ ser una familia de conjuntos, y deje $(\mathbf{C},\{\kappa_i\})$ ser $\mathbf{C}$ y las funciones de $\kappa_i\colon X_i\to \mathbf{C}$ tal que para cada conjunto $A$ y todos los de la familia de los mapas de $g_i\colon X_i\to A$, no existe un único mapa $g\colon\mathbf{C}\to A$ tal que $g_i=g\circ\kappa_i$. Entonces existe un único bijection $\chi\colon\mathbf{C}\to C$ tal que $\iota_j = \chi\circ\kappa_j$.
La prueba es la misma idea que por el producto, usted ni siquiera necesita para conseguir el nivel de los conjuntos, sólo tiene que utilizar las propiedades que definen $\mathbf{C}$$C$.
Si usted dibuje los diagramas con flechas de funciones, veremos que el teorema de la inconexión de la unión expresa casi el mismo teorema como para el producto, pero con "flechas al revés": funciones que pasó en el $X_i$ para el producto en funciones que van de la $X_i$ para la inconexión de la unión, etc.
La categórica concepto de "producto" y "subproducto" son sólo generalizaciones de las ideas. Están inspiradas por el hecho de que no son similares "objetos" en otras situaciones que tienen el mismo tipo de propiedades (grupos, espacios topológicos, módulos, etc).
Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría, y deje $\{X_i\}_{i\in I}$ ser una familia de objetos de $\mathcal{C}$.
Definición. Un producto de la $X_i$ es un par $(P,\{p_i\}_{i\in I})$ donde $P$ es un objeto de $\mathcal{C}$, e $p_i\colon P\to X_i$ son morfismos, tal que para cada objeto $A$ y todos los de la familia de los mapas de $f_i\colon A\to X_i$, no existe un único morfismos $f\colon A\to P$ tal que $f_i=\pi_i\circ f$ por cada $i\in I$.
Definición. Un subproducto de la $X_i$ es un par $(C,\{\iota_j\}_{j\in I})$ donde $C$ es un objeto de $\mathcal{C}$, e $\iota_j\colon X_j\to C$ son morfismos, tal que para cada objeto $A$ y todos los de la familia de morfismos $g_i\colon X_i\to A$, no existe un único morfismos $g\colon C\to A$ tal que $g_j = g\circ \iota_j$ todos los $j\in J$.
Productos y co-productos no necesitan existir; pero, cuando existen, son únicos hasta un único isomorfismo. Este último hecho sigue exactamente de la misma manera como la prueba para los conjuntos de arriba, porque no usamos el hecho de que hemos tenido y los conjuntos de set-mapas, hemos utilizado las propiedades del producto y el subproducto que se establezca.
Ejemplos:
Para $\mathcal{G}roups$, el producto de una familia de grupos de $\{G_i\}_{i\in I}$ es su producto cartesiano; el subproducto es su producto gratis.
Para $\mathcal{A}b\mathcal{G}roups$ (abelian grupos), el producto de una familia $\{A_i\}_{i\in I}$ es su producto cartesiano, el subproducto es su suma directa.
Para los módulos y espacios vectoriales, el producto es el producto cartesiano, el subproducto es la suma directa.
Para espacios topológicos, el subproducto es distinto de la unión, con la topología generada por la unión de las topologías; el producto es el producto cartesiano con el producto de la topología.
En muchas categorías familiares, donde los objetos son "conjuntos con extra estructura" y los morfismos son mapas "que el respeto de la estructura", el conjunto subyacente de que el producto es siempre el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes, mientras que el conjunto subyacente de la subproducto es rara vez la inconexión de la unión de los conjuntos subyacentes. Esto es una consecuencia del hecho de que el "conjunto subyacente functor" a menudo tiene un adjunto a la izquierda, pero rara vez tiene un derecho adjuntos. Véase, por ejemplo, esta respuesta anterior
Recomiendo (de nuevo) de George Bergman Matemáticas 245 notas. El capítulo 3 le da un "tour" de universal de construcciones en ejemplos concretos, mostrando muchos casos de estos conceptos categóricos como los que se producen "en el terreno". El capítulo 6 presenta los conceptos básicos de la Categoría de la Teoría y, a continuación, en el Capítulo 7 describe las construcciones se vio en el Capítulo 3 en términos de categorías, functors, propiedades universales, etc.
Añadido. Hrmph. Parece que puede haber perdido el punto de la cuestión, que es si uno puede definir suma directa a través de una característica universal.
En el contexto de abelian categorías, el concepto de biproduct es precisamente el concepto que conduce a la suma directa/producto (el cual de acuerdo sobre finito familias, pero pueden estar en desacuerdo infinito). El biproduct de abelian grupos es precisamente la suma directa/producto finito de las familias, con la suma directa de ser el subproducto y producto directo de ser el producto de infinitas familias. Lo mismo es cierto para los espacios vectoriales y $R$-módulos, ya que todos ellos son el prototipo de las instancias de abelian categorías.
¿Qué acerca de las categorías en las que la noción de "suma directa" todavía tiene sentido, pero no conduce a un subproducto? Por ejemplo, el producto directo restringido en la categoría de grupos tiene perfecto sentido: el restringido producto directo de un familiar $\{G_i\}_{i\in I}$ de grupo es el subgrupo del producto directo $\prod\limits_{i\in I} G_i$ de los elementos de la $(g_i)$ tal que $g_i=e_i$ en casi todas las $i$.
Uno puede tratar de definirlo en categorías de productos, cero objetos, y en el que los objetos son conjuntos y las flechas son los mapas, tomando la colección de todos los elementos del producto para el que las proyecciones de acuerdo con el cero de morfismos en casi todos los componentes. Pero esto no tiene que ser un objeto en su categoría (por ejemplo, para la categoría de anillos con uno, la suma directa no es un anillo con uno), y que yo sepa no hay ninguna naturales universal de los bienes que uno puede poner en él. Uno puede construir propiedades que satisfacen en ciertas circunstancias, pero en mi experiencia, que no son muy satisfactorios, o natural, y no generalizar. Por ejemplo, la suma directa/restringidos producto directo de grupos puede ser descrito como el único grupo de $G$, junto con incrustaciones $\iota_j\colon G_j\to G$ de manera tal que las imágenes conmutar pares $(\iota_j(g_j)\iota_k(g_k) = \iota_k(g_k)\iota_j(g_j)$ todos los $j\neq k$), y universal con respecto a los mapas de los grupos de $G_j$ cuyas imágenes conmutar pares; pero "imágenes conmutar pares" es un poco difícil generalizar de manera categórica.
