Número de uno-a-una función tal que $f(f(x))=x$ $\left\lvert f(x)-x \right\rvert>2$ todos los $x\in\{1,2,...,2n\}$

Question

Uno de mis amigos pidió a esta combinatoria problema, y estoy completamente perdido...

El problema es encontrar el número de uno-a-uno la función $f:\{1,2,...,2n\}\mapsto\{1,2,...,2n\}$ tal que $$f(f(x))=x$$and$$\left\lvert f(x)-x \right\rvert>2$$for all $x\in\{1,2,...,2n\}$

Traté de hacer una relación de recurrencia, contar...etc. Ninguno de los métodos que parece funcionar para mí.

P. S. Si esto se puede resolver, puede ser extendido al caso en que $\left\lvert f(x)-x \right\rvert>k$?

Answer 1

Lo que sigue es sin duda más de un comentario, pero puede ayudar a inspirar más trabajo en este interesante problema. Aquí es un script en Perl que tiene éxito en el cálculo de la cantidad admisible de las funciones de a a $n=8.$

#! /usr/bin/perl -w
#

sub enumerar {
 my ($n, $fuente, $pos, $visto, $mref) = @_;

 si(escalares(teclas(%$visto)) == 2*$n){
$$mref++;
de retorno;
}


 de regreso si $pos >= escalar(@$src);

 enumerar($n, $fuente, $pos+1, $visto, $mref);

 my ($u $v) = @{ $src->[$pos] };

 si(no(existe($visto->{$u})) &&
no(existe($visto->{$v}))){
 $ver->{$u} = 1;
 $ver->{$v} = 1;

 enumerar($n, $fuente, $pos+1, $visto, $mref);

 eliminar $visto->{$v};
 eliminar $visto->{$u};
}

1;
}

PRINCIPAL : {
 mi $mx = int(shift || 3);

 para(mi $n=1; $n <= $mx; $n++){
 mi @srcdata;

 para(mi $p=1; $p <= 2*$n; $p++){
 para(mi $q=$p+3; $p <= 2*$n; $p++){
 push @srcdata, [$p $q];
}
}

 mi $match = 0;
 enumerar($n, \@srcdata, 0, {}, \$match);

 print "$n: $match\n";
}

1;
}

Esto produce la siguiente tabla:

1: 0
2: 0
3: 1
4: 10
5: 99
6: 1146
7: 15422
8: 237135

Se nos enviará a OEIS entrada A190823. Nosotros descubrir en la consulta a esta entrada que no hay referencias o las fórmulas. Esto es evidencia definitiva para el problema de ser nuevo y difícil. Buena suerte!