Así que estoy supone que demostrar que $\sum 1/n^2 \le 2$. Debo usar la inducción?
Respuestas
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Amr
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En la patata de la respuesta,puede parecer que el más fuerte de inducción hipótesis salieron de la nada. Aquí es otro enfoque:
Sugerencia: Para todos los $n\in\mathbb{Z}^+$, tenemos: $\frac{1}{n^2}\leq\frac{1}{n^2-0.5^2}=\frac{1}{(n-0.5)(n+0.5)}$ Por lo tanto: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-0.5)(n+0.5)}$$ La suma en el lado derecho de la desigualdad de los telescopios y puede ser demostrado ser igual a $2$.
Mike
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Sugerencia: Probar que la siguiente se aplica a todos los $n$ por inducción.
$$\sum_1^n \frac{1}{k^2} \le 2 - \frac{1}{n}.$$
No es infrecuente que al probar algunos desigualdad por inducción, primero será necesario reforzar la hipótesis de conseguir que la inducción al trabajo.
Usted puede utilizar la misma técnica para enlazados a otros valores de la función zeta. Por ejemplo, trate de mostrar $\zeta(3)$ está acotada arriba por $\frac{3}{2}$.
Khushi
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Si usted no desea utilizar la inducción, puede utilizar la integral de la prueba de convergencia que dice que para un no-negativo, estrictamente decreciente la función $f$, tenemos $$\int_N^{\infty}f(x)dx \leq \sum_{n=N}^{\infty}f(n) \leq f(N) + \int_N^{\infty}f(x)dx.$$ In this case $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ and $N = 1$.
Did
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Debo usar la inducción?
No necesariamente. Tenga en cuenta que $\dfrac1{n^2}\lt\dfrac1{n(n-1)}=\dfrac1{n-1}-\dfrac1n$ por cada $n\geqslant2$ por lo tanto, " los términos de la serie para $n\geqslant2$ muestra que $$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n^2}\lt\sum_{n=\color{red}{\mathbf2}}^{\infty}\left(\dfrac1{n-1}-\dfrac1n\right)=\dfrac1{\color{red}{\mathbf2}-1}=1. $$ Para concluir, añadir el $n=1$ plazo $\dfrac1{1^2}=1$.
Simon D
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Hay una prueba geométrica que la suma de $1/n$ es menor de 2.
Uno divide un cuadrado en las filas de altura 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 &c.
En el estante superior de la altura de 1/2, vaya 1/2, 1/3.
En el segundo estante (1/4), ir 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, todos igual o menor o igual a 1/4, así que caben todos.
Y así sucesivamente con 1/8, 1/16, &c.
Ya que todas las plazas $1/2^2$ $1/\infty^2$ajuste en la segunda plaza, entonces la suma de estos números deben ser de menos de $2$.
