Suma de las fracciones con denominadores factoriales

Question

Estoy teniendo algunas dificultades para encontrar la solución de esta suma de fracciones con factoriales en el denominador. ¿Alguna idea de cómo resolverlo?
$$\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{i!+(i+1)!+(i+2)!} =\frac{1}{1!+2!+3!}+\frac{1}{2!+3!+4!}+...+\frac{1}{2016!+2017!+2018!}=?$$

He utilizado la siguiente fórmula como una forma de solucionarlo, pero no obtuve buenos resultados. $$\frac{1}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=\frac{1}{n!(n+2)^2}$$

Resulta que podemos resolver/representar la solución utilizando funciones hipergeométricas. ¿Alguien puede sugerir la forma elemental de resolverlo/simplificarlo?

Answer 1

No parece que sea algo conocido.

Wolfy dice que la suma es de aproximadamente 0.1503796770046413405002786271034306597823, y la calculadora simbólica inversa no da nada útil.

Answer 2

El arce da $$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{i!(i+2)^2}=\frac 1 9\,{\mbox{$ _3 $F$ _3 $}(1,3,3;\,2,4,4;\,1)}-{\frac { {\mbox{$ _3 $F$ _3 $}(1,n+3,n+3;\,n+4,n+4,n+2;\,1)}}{ \left( n+1 \right) ! \, \left( n+3 \right) ^{2}}}, $$ así que $$ \sum_{i=1}^{2016} \frac{1}{i!(i+2)^2} \approx \frac 1 9\,{\mbox{$ _3 $F$ _3 $}(1,3,3;\,2,4,4;\,1)}. $$