Deje $X$ ser un espacio topológico. Si sabemos que para$\mathbb{F}=\mathbb{Q}$$\mathbb{Z}/p$, para cualquier prime $p$, $$ H^*(X;\mathbb{F})=0$$ para cualquier $*\geq n+1$, podemos concluir que $$ H^*(X;\mathbb{Z})=0$$ para cualquier $*\geq n+1$? Si no, ¿qué podemos concluir?
Respuestas
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Si usted está trabajando con los espacios con f.g. cohomology, el resultado en el post (no en el título) se mantiene. Todos los $\text{Ext}(H_n(X, \mathbb{Z}), \mathbb{Z}_p)$ desaparecer por el universal coeficiente de teorema, por lo $H_n(X, \mathbb{Z})$ no contiene torsión. Se desprende de la universal coeficiente teorema de homología que $H_{n+1}(X, \mathbb{Z})$ debe desaparecer, y por lo $H^{n+1}(X, \mathbb{Z})$ debe demasiado.
Adam Malter
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Si $H^*(X;F)=0$ $*>n$ y en todos los campos $F$, luego por el universal coeficiente de teorema, $\operatorname{Hom}(H_*(X;\mathbb{Z}),F)=\operatorname{Ext}(H_*(X;\mathbb{Z}),F)=0$$*>n$. Pero si $\operatorname{Hom}(A,\mathbb{Q})=0$ $A$ debe ser de torsión, y de cualquier inyección $\mathbb{Z}/p\to A$ induce un surjection $\operatorname{Ext}(A,\mathbb{Z}/p)\to\operatorname{Ext}(\mathbb{Z}/p,\mathbb{Z}/p)\neq0$. De ello se deduce que debemos tener $H_*(X;\mathbb{Z})=0$ todos los $*>n$, y por lo $H^*(X;\mathbb{Z})=0$$*>n+1$$H^{n+1}(X;\mathbb{Z})=\operatorname{Ext}(H_n(X;\mathbb{Z}),\mathbb{Z})$. Sin embargo, en este último grupo podría ser trivial: por ejemplo, $H_n(X;\mathbb{Z})$$\mathbb{Q}$, en cuyo caso $H^{n+1}(X;\mathbb{Z})=\operatorname{Ext}(\mathbb{Q},\mathbb{Z})$ es incontable.
