un conjunto teórica de finalización?

Question

Existe tal cosa como el inicio de la debilidad del tipo de la teoría de conjuntos y hacer un argumento para demostrar que debe ser ampliado a un conjunto más fuerte de la teoría como ZFC? Algo similar a ir a partir de los racionales a los reales? Con los sistemas de numeración, tenemos evidencias de que las fuerzas de ee.uu. en un sistema más fuerte (la raíz cuadrada de 2). Hay tal evidencia con la teoría de conjuntos?

He mencionado los números reales, porque en esa situación es evidente que hay algo que falta. Es obviamente algo que falta de "débil" conjunto de teorías? Mi interés es: ¿hasta qué punto podemos justificar los axiomas de infinitud y la elección? Hay un nivel más alto principio de la "falta algo" ordenar) que implica el infinito y la elección debe ser parte de nuestro sistema?

Answer 1

Mientras que su analogía con el caso de los racionales $\rightarrow$ reales es (en mi opinión) algo forzada, creo que esta es una muy buena pregunta. Tal vez sería mejor refundición como:

¿Cuáles son los criterios que podrían hacer que nos quieren agregar axiomas a nuestra teoría de conjuntos?

Hay tres grandes casos en que puedo pensar:

• El alojamiento informal conjunto teórico argumentos. Básicamente, la idea es que cualquier "razonable" argumento en la teoría de conjuntos ingenua debe tener una contraparte en el conjunto formal de la teoría. Esta fue una fuerza impulsora detrás de añadir el axioma de reemplazo (debido a Fraenkel); Zermelo la teoría de conjuntos sin reemplazo (ZC) es considerablemente más débil que ZFC. Pero este proceso parece haber terminado con ZFC.

• La resolución de problemas matemáticos. Podemos argumentar, por ejemplo, que el Continuum de la Hipótesis deben ser resueltos en la teoría de conjuntos. Esto significaría que tenemos que agregar axiomas, ya que nuestro actual conjunto de axiomas son insuficientes. Del mismo modo, un deseo de desarrollar una sólida teoría de conjuntos proyectivos conduce a grandes cardenales. Esta es una importante fuerza impulsora en moderno conjunto teórico de la investigación, aunque si es resultado de un cambio de la base de axiomas es muy dudosa (en mi opinión).

• Llenar huecos. Esta es la analogía más cercana con los reales del caso. La idea es: si algún conjunto teórico objeto puede ser "aproxima" a través de los objetos que nuestra actual axiomas puede demostrar que existe, entonces deberíamos ser capaces de demostrar que ese objeto existe en sí mismo. Mientras que los grandes cardenales sí puede ser visto como un objetivo de esta filosofía, creo que tal vez no el más exacto instancia disponible para nosotros. La obligando a los axiomas proporcionan un sólido ejemplo de esta filosofía: básicamente, se dice que el conjunto teórico universo contiene "muy genérica" de los objetos. Martin Máximo puede ser visto como un natural punto de parada de esta línea de investigación. Curiosamente, obligando a los axiomas y los grandes cardenales están profundamente entrelazadas.

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Tengo que salir de mi equipo por desgracia, pero voy a añadir a esta respuesta más tarde esta noche.

Answer 2

Para la categoría de la teoría, a veces, usted podría necesitar para manejar el conjunto de todos los conjuntos y esto hace que no existen en $ZF$. Pero el uso de $NBG$, se puede hablar de la clase de todos los conjuntos que sería similar a la del conjunto de todos los conjuntos, pero sin tocar por los mismos problemas que surgen cuando se habla sobre el mismo concepto en $ZF$. Por lo $NBG$ poseen un mayor ontología de $ZF$ y, de hecho, $ZF$ puede ser construido como un subsistema de $NBG$. No estoy seguro si esta es la clase de completar estás buscando, pero si esto es, echar un vistazo al primer capítulo de Goldblatt es: El análisis categorial de la lógica.

Supongo que estas teorías puede ser completado mediante la generación de una nueva teoría en la que ciertos conjuntos que no fueron aceptadas en las teorías anteriores existen para los nuevos, así como el conjunto que he mencionado antes. Tome $ZF$ y eliminar el axioma de que el poder establecido, será menos completa de la teoría, que es: Usted no será capaz de construir ciertos conjuntos que podrían ser construidas con $ZF$.

Esto me recuerda a un ejercicio en el principio o Jech/Hrbáček del: Introducción a la Teoría de conjuntos Que dan los axiomas de existencia, extensionality y la comprensión. Un poco más adelante en el libro, que le pido a demostrar que con estos axiomas solo, sólo se puede construir a $\emptyset$.

Comenzar a leer lo que he sugerido, pronto Asaf va a surgir de la oscuridad y resolver esto.

Answer 3

Pasando de los racionales a los reales hace que el primer orden de teoría de la orden de estructuras algebraicas más débil: el de primer orden de la teoría de los racionales es no decidable pero el primer orden de la teoría de los reales es. Usted está confundiendo la lógica de la fuerza de una teoría con su aparente ontológica requisitos: en el ejemplo que das, la teoría de la $\Bbb{Z}[\sqrt{2}]$ puede ser fácilmente interpretado en la teoría de la $\Bbb{Z}$. Es incorrecto decir que la teoría de la $\Bbb{Z}[\sqrt{2}]$ es más fuerte que la teoría de la $\Bbb{Z}$.

Answer 4

Feferman ha hecho el trabajo en este área bajo la rúbrica de "despliegue" sistemas formales.