Si $\vert{z_{1}+ \cdots + z_{n}}\vert$ = $\vert{z_{1}}\vert + \cdots + \vert{z_{n}}\vert$ a continuación, $z_{j} = c_{j}z_{1}$

Question

Podría alguien darme sólo una sugerencia para resolver este problema?

Deje $z_{1}, \ldots z_{n} \in \mathbb{C}$,$z_{1}\neq 0$. Probar que si $\vert{z_{1}+ \cdots + z_{n}}\vert$ = $\vert{z_{1}}\vert + \cdots + \vert{z_{n}}\vert$ $z_{j} = c_{j}z_{1}$ , donde $c_{j}\geqslant 0 $, $j=1,\ldots n $

Answer 1

El uso de $|z|^2 = z z^*$ hemos

$$ \vert{z_{1}+ \cdots + z_{n}}\vert^2 = (z_{1}+ \cdots + z_{n})(z_{1}^*+ \cdots + z_{n}^*) \\ = \sum_{i} |z_{i}|^2 + \sum_{i > j} (z_i z_j^* +z_j z_i^* )\\ = \sum_{i} |z_{i}|^2 + 2 \sum_{i > j} \Re (z_i z_j^*) = \sum_{i} |z_{i}|^2 + 2 \sum_{i > j} |z_i||z_j| \cos(\phi_i - \phi_j) $$ que, de acuerdo a la pregunta, ser igual a $$ (\vert{z_{1}}\vert + \cdots + \vert{z_{n}}\vert)^2 = \sum_{i} |z_{i}|^2 + 2 \sum_{i > j} |z_i||z_j| $$

Puesto que todos los términos en la segunda expresión son positivos y desde $\cos(\phi_i - \phi_j) \le 1$, debemos tener $\phi_i = \phi_j$ todos los $(i,j)$. Por lo tanto todos los $z_j$ deben tener el mismo ángulo de fase. Esto es equivalente a decir $z_{j} = c_{j}z_{1}$ real con constantes positivas $c_{j}$.

Answer 2

He aquí el caso base.

Si $|(a+bi)+(c+di)| =|a+bi|+|c+di| $ a continuación, $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2} =\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} $.

Cuadrado, $(a+c)^2+(b+d)^2 =a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} $ o $2ac+2bd =2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} $.

Dividiendo por 2 y cuadrar de nuevo, $a^2c^2+2abcd+b^2d^2 =^2c^2+a^2d^2+b^2 c^2+b^2d^2 $ o $0 =^2d^2+b^2 c^2-2abcd =(ad-bc)^2 $ así $ad=bc$.

Ahora se convierte en los casos dependiendo de que, en su caso, de $b$ abd $d$ son cero.

Si $b\ne 0, d\ne 0$, entonces $a/b = c/d$. Dejar $r = a/b$, entonces $a = rb, c = rd$ así $a+ib =b(r+i) $ y $c+id = d(r+i) $ así $c+id = (d/b)b(r+i) =(d/b)(a+ib) $.

Voy a dejar de trabajar fuera de la otros de los casos.

Answer 3

Deje $P(n)$ significa que el resultado si es verdadera para $\le n$ variables. $P(1)$ es clara.

Es sencillo mostrar que $|1+w| = 1+|w|$ fib $w\ge 0$.

Para $P(2)$ si $z_1 \neq 0$ $|1+ {z_2 \over z_1}| = 1+ | {z_2 \over z_1}|$ y, por tanto, $P(2)$ es cierto en el anterior comentario.

Supongamos $P(n)$ es verdadera y $|z_1+z_2+\cdots+ z_n + z_{n+1}| = |z_1|+ |z_2|+ \cdots + |z_n| + |z_{n+1}|$. Si $z_1 \neq 0$ podemos dividir a través de para obtener $|1+ {z_2 \over z_1}+\cdots + {z_{n+1} \over z_1}| = 1+ |{z_2 \over z_1}|+\cdots + |{z_{n+1} \over z_1}|$.

Para reducir el desorden deje $w_k = {z_k \over z_1}$.

Desde $|1+w_2+\cdots+ w_{n+1}| \le 1 + |w_2+\cdots+ w_{n+1}| \le 1 + |w_2| + \cdots + |w_{n+1}|$ hemos $|w_2+\cdots+ w_{n+1}| = |w_2| + \cdots + |w_{n+1}|$ , de la que nos ver que $P(n+1)$ es cierto.