Como en el título: Si $f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ es continua en a $x$ y tiene derivadas direccionales $\partial_vf(x)=L(v)\,\forall v\in\mathbb{R}^n$ donde $L$ es lineal, ¿esto implica que $f$ es totalmente diferenciable?
Respuestas
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La respuesta es "no".
Deje $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ ser definido por $f(x,x^2)=x$ todos los $x\in \mathbb R$ $f(x,y)=0$ si $y\neq x^2$. Esta función $f$ es continua en a$0$$f(0)=0$. Para cualquier dirección fija $v$, $f(tv)=0$ si $t$ es lo suficientemente pequeño; por lo $\partial_v f(0)$ existe $\partial_vf(0)=0$. Pero $f$ no es diferenciable en a $0$ porque la única posible (total) diferencial es $L=0$ y no tenemos $f(x,y)=o(\Vert (x,y)\Vert)$$(x,y)\to 0$.
Matt
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La respuesta es "no".
Deje $f: R^2 \to R$ ser definido por $f(x,y)= \frac{x^3y}{x^4+y^2}$$(x,y) \neq (0,0)$$f(0,0) = 0$. Esta función es continua; su derivada direccional se define en cada punto, en cada dirección; y en cada punto de su derivada direccional es una función lineal de la dirección. Pero, se puede comprobar que $f$ no es diferenciable en a $(0,0)$ por acercarse a $(0,0)$ a lo largo de $y=x^2$.
Ver Bases de la Moderna Análisis por Dieudonné, Vol. 1 el Capítulo VIII, Sección 4.
