Topología de las matrices

Question

1.Considere el conjunto de todos los $n×n$ matrices con entradas reales como el espacio $\mathbb R^{n^2}$ . ¿Cuál de los siguientes conjuntos es compacto?

(a) El conjunto de todas las matrices ortogonales.

(b) El conjunto de todas las matrices con determinante igual a la unidad.

(c) El conjunto de todas las matrices invertibles.

2.En el conjunto de todos los $n×n$ matrices con entradas reales, consideradas como el espacio $\mathbb R^{n^2}$ ¿cuál de los siguientes conjuntos está conectado?

(a) El conjunto de todas las matrices ortogonales.

(b) El conjunto de todas las matrices con traza igual a la unidad.

(c) El conjunto de todas las matrices simétricas y positivas definidas.

PARA 1 (a) puede ser cierto ya que el mapeo determinante es continuo y mapea al conjunto compacto{1,-1} pero es sólo una condición necesaria.y (c) no es cierto ya que el mapeo determinante es continuo y mapea a un conjunto no compacto.no sé sobre (b).pero creo que no es cierto. FOR2 (a) no es correcta. No sé si (b) y (c)

Answer 1

1. Compactación

   (a) Esto es cierto. En primer lugar, el conjunto de estas matrices está acotado por $\sqrt{n}$ Es decir $||A|| \leq \sqrt{n}$ . Una forma de ver esto es mostrar primero que para las matrices ortogonales $||A||_2 = 1$ y luego demostrar que $||A|| \leq \sqrt{n}||A||_2$ . Demostrar que está cerrado tampoco es tampoco es tan difícil. Sea $\{A^k\}_{k\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia de matrices ortogonales con límite $A$ . Debido a la naturaleza de la norma $A$ es el límite de los componentes, es decir $A_{i,j} = \lim_{k\to\infty} A^k_{i,j}$ . Ahora debería ser fácil ver que $A$ también es ortogonal. Otra opción para demostrar que el conjunto es cerrado es observar (o mostrar) que el mapa $A\to A^T A$ es continua y el conjunto de matrices ortogonales es la preimagen de $I$ .

   edit: En realidad, mostrando que $||A||\leq \sqrt{n}$ es aún más fácil, es decir, casi por definición tenemos, $||A|| = \sqrt{\mathrm{tr}\left(A^T A\right)}$ pero $A^T A = I$ Así que $||A|| = \sqrt{\mathrm{tr}\left(I\right)} = \sqrt{n}$ .

   (b) Esto es falso, ya que este conjunto no tiene límites. Por ejemplo, tomemos la matriz con $a_{1,1} = M$ , $a_{2,2} = \frac{1}{M}$ , $a_{k,k}=1$ y los ceros de la diagonal. La norma de esta matriz es mayor que $M$ por lo que obtenemos una familia de matrices cuyo determinante es $1$ y cuya norma no puede ser acotada.

   (c) El mismo argumento que en el caso anterior.

   1. Conectividad

   (a) Este conjunto no está conectado. Por ejemplo, el conjunto de matrices con determinante $1$ es un conjunto cerrado al igual que el conjunto de matrices con determinante $-1$ y son disjuntos y cubren el conjunto de matrices ortogonales.

   (b) Si $A$ et $B$ son matrices con traza $1$ entonces $f(t) = t A + (1-t) B$ es un camino desde $A$ a $B$ y es muy fácil ver que para cada $t$ , $f(t)$ es una matriz con traza $1$ . El conjunto es, por tanto, conexo a la trayectoria y, por lo tanto, conectado.

   (c) Funciona un argumento similar al del caso anterior. Para $A$ et $B$ positiva definida, para cada $t\in [0,1]$ , $f(t)$ es una matriz simétrica positiva definida, lo que es fácil de ver directamente desde la definición. Por lo tanto, este espacio también está conectado por un camino.

Answer 2

Dejemos que $E:=\Bbb R^{n^2}$ .

1. (a) Tenemos $O_n:=F^{-1}(\{0\})$ donde $F\colon E\to E$ se define como $F(A):=A^tA-I$ . Tenemos que demostrar que $F$ es continua, pero se deduce del hecho de que $M\colon E^2\to E$ , $M(A,B)=A\cdot B$ et $Ad\colon E\to E$ , $Ad(M):=M^t$ son continuos. Tenemos $\lVert Ax\rVert=\lVert x\rVert$ para todos $x$ donde $\lVert\cdot \rVert$ es la norma euclidiana, lo que demuestra la acotación.

   (b) El mapa $\det\colon E\to \Bbb R$ es continua que da la cercanía. Pero no está acotado, ya que $\pmatrix{a&0&0\\0&a^{—1}&0\\ 0&0&I_{n-2}}$ espectáculos.

   (c) La secuencia $\{\frac 1k I_n\}$ de matrices invertibles converge a la matriz nula, que no es invertible.

2. (a) Podemos escribir $$O_n=(O_n\cap \det^{—1}(-\infty,0))\sqcup (O_n\cap \det^{—1}(0,+\infty)),$$ por lo tanto como una unión disjunta de dos conjuntos abiertos para la topología inducida.

   (b) El conjunto de tales matrices está conectado por arcos.

   (c) Si $A$ et $B$ son simétricos positivos definidos, entonces también lo es $tA+(1-t)B$ para $0\leq t\leq 1$ .