Tu pregunta puede ser hecha precisa en una variedad de maneras diferentes, pero primero necesitas saber de la lógica y la Aritmética de Peano (PA). (Puede omitir estos enlaces si se entiende el resto de este post.)
$\def\nn{\mathbb{N}}$
$\def\t#1{\text{#1}}$
$\def\place#1{\,\boxed{#1}\,}$
$\def\code#1{\underline{#1}}$
Meta-Razonamiento
Siempre debemos trabajar en algunos meta-sistema cuando se habla de pruebas. Siempre elegimos nuestro meta-sistema para tener la colección de los números naturales, que llamamos $\nn$, y la aritmética constantes $0,1 \in \nn$, y las operaciones aritméticas $+,\times$, de tal manera que $(\nn,0,1,+,\times)$ es un modelo de (de primer orden) PA (un mundo de satisfacer los axiomas de la PA) y cada miembro de $\nn$ es de la forma "$1+1+\cdots+1$". Todas las matemáticas en el resto de este post se va a hacer en el meta-sistema, donde vamos a hablar de otros sistemas formales y de lo que puede o no puede demostrar.
La inducción en general
La inducción en el sentido más general es la siguiente regla de inferencia:
Dado cualquier $1$-parámetro de la sentencia de $P$ con un número natural parámetro:
Si usted puede deducir ambas de las siguientes:
$P(0)$.
$\forall n \in \nn\ ( P(n) \to P(n+1) )$.
A continuación, puede deducir:
$\forall n \in \nn\ ( P(n) )$.
Aquí, una $1$-parámetro frase es una expresión con espacios en blanco, de tal manera que llenar los espacios en blanco con el mismo parámetro (del tipo correcto) resultados en una frase. Aquí $P$ requiere de un parámetro que es un número natural, es decir, un miembro de $\nn$. Escribimos "$P(t)$" para indicar la frase formada por llenar los espacios en blanco en $P$ con el término "$t$". Tenga en cuenta que la inducción de la regla es acerca de la deducción, no se trata de la verdad (en el sentido matemático).
Por ejemplo, "$\exists m \in \nn\ \left( \place{1} = 2m \lor \place{1} = 2m+1 \right)$ " $1$- parámetro frase donde todas las apariciones de "$\place{1}$" denotan los espacios en blanco para ser llenados, y el resultado será una pena si se rellena con un número natural. La inducción aplicada a este diría que:
Si usted puede deducir ambas de las siguientes:
$\exists m \in \nn\ ( 0 = 2m \lor 0 = 2m+1 )$.
$\forall n \in \nn\ ( \exists m \in \nn\ ( n = 2m \lor n = 2m+1 ) \to \exists m \in \nn\ ( n+1 = 2m \lor n+1 = 2m+1 ) )$.
A continuación, puede deducir:
$\forall n \in \nn\ ( \exists m \in \nn\ ( n = 2m \lor n = 2m+1 ) )$.
De hecho, podemos deducir las dos frases que requiere la inducción en este caso (¡inténtelo!), y de ahí se puede deducir la sentencia dictada por la inducción, que es en realidad un caso especial de la división-teorema del resto.
Ahora último teorema de Fermat corresponde a la declaración:
$\forall n \in \nn\ ( \t{FLT}(n) )$
donde "$\t{FLT}(n)$" denota "$n > 2 \to \neg \exists x,y,z \in \nn\ ( x > 0 \land y > 0 \land x^n+y^n=z^n )$".
De hecho, ya se ha demostrado (en algunos potente sistema formal), la siguiente se puede deducir en ese sistema) trivialmente (según se indique):
$\t{FLT}(0)$.
$\forall n \in \nn\ ( \t{FLT}(n) \to \t{FLT}(n+1) )$.
Así que se podría utilizar la inducción de reglas para deducir el ultimo teorema de Fermat. Pero ¿para qué? Ya hemos deducido, por lo que es inútil para añadir un par de líneas que consiste en la anterior deducción sólo para deducir de nuevo! En lugar de eso, lo que quiero preguntar es no se trata de inducción solos , sino sobre el sistema formal como un todo, específicamente lo que los sistemas formales puede deducir el teorema.
Un candidato natural que viene a la mente es de primer orden PA, pero hay algunas advertencias que voy a hablar más tarde. En primer lugar vamos a ver lo que la inducción de los medios de PA.
La inducción de primer orden PA
Desde el lenguaje de la PA sólo ha $0,1,+,\times$, podemos aplicar la inducción a sólo oraciones que involucran estos y nada más. Esto también significa que todos los cuantificadores no son restringidas, ya que la PA es incapaz dice nada acerca de las $\nn$ o de otras colecciones. Específicamente, la inducción en el PA es un esquema, es decir, una colección infinita de axiomas que forma parte de los axiomas de la PA. Este esquema incluye para cada $1$-parámetro frase más PA la siguiente axioma:
$P(0) \land \forall n\ ( P(n) \to P(n+1) ) \to \forall n\ ( P(n) )$.
Tenga en cuenta que la inducción general descrito anteriormente usos restringidos cuantificadores, y por lo tanto sólo es válida en un sistema que es capaz de expresar declaraciones acerca de la colección de $\nn$.
Sin embargo, se puede comprobar que los axiomas de la PA$^-$ (PA sin la inducción del esquema) son suficientes para demostrar:
$\exists m\ ( 0 = 2m \lor 0 = 2m+1 )$.
$\forall n\ ( \exists m\ ( n = 2m \lor n = 2m+1 ) \to \exists m\ ( n+1 = 2m \lor n+1 = 2m+1 ) )$.
Por lo tanto, autoridad puede, mediante el uso de uno de los axiomas en la inducción de esquemas, deducir:
$\forall n\ ( \exists m\ ( n = 2m \lor n = 2m+1 ) )$.
Resulta que este teorema de PA no puede ser probado sin el uso de la inducción, porque no es un modelo de PA$^-$ que no cumpla con esta frase, y así PA$^-$ no puede demostrar la frase.
Esta técnica de la construcción de un modelo de un sistema formal $S$ (en este caso PA$^-$) que no satisface alguna frase $A$ (en este caso "$\neg \forall n\ ( \exists m\ ( n = 2m \lor n = 2m+1 ) )$") para mostrar que $S$ no demuestran $A$ es una técnica muy útil, aunque no hay ninguna forma sistemática para construir el modelo necesario.
Último teorema de Fermat en la debilidad de la aritmética teorías
El modelo de la construcción, la técnica se ha utilizado para demostrar que el último teorema de Fermat en diversas formas, no puede ser probado en varios sistemas formales. Este trabajo reciente de los estados (aproximadamente) de la siguiente (página 2):
PA$^-$ más cuantificador libre de la inducción no puede demostrar "$\t{FLT}(3)$".
donde "$t^3$" se lee como "$t \times t \times t$" [el lenguaje de la PA puede expresar la exponenciación!].
$\t{Th}(\nn) + \t{Exp}$ no puede demostrar "$\forall n\ ( \t{FLT}_e(n) )$"
donde $\t{Th}(\nn)$ (la teoría de la $\nn$) es la colección de todas las sentencias satisfecho por $\nn$
y $e$ es una función binaria símbolo y $\t{Exp}$ se compone de las conocidas leyes de exponenciación
y $\t{FLT}_e(n)$ es lo mismo que $\t{FLT}(n)$, salvo que "$t^n$" se lee como "$e(t,n)$".
El problema aquí que el lenguaje de la PA no se puede hablar de la exponenciación es una de las más importantes. Gödel demostró como parte de la prueba de sus teoremas de incompletitud de que hay una manera de codificar secuencias finitas de números naturales como simples números naturales tales que las codificaciones pueden ser manipulados por los de primer orden fórmulas más PA. Esto implica que no es un $3$-parámetro de la sentencia de $\t{exp}$ más PA tal que para cada a $a,b,c \in \nn$ tenemos que $\nn$ satisface "$\t{exp}(a,b,c)$" iff $a^b = c$. Así que PA puede ordenar de hablar de exponenciación el uso de $\t{exp}$.
El documento afirma (página 1) que es ampliamente creer que la PA puede demostrar el último teorema de Fermat. Esta afirmación es que:
? PA demuestra "$\forall n\ ( n > 2 \to \neg \exists x,y,z,p,q,r \in \nn\ ( x > 0 \land y > 0$
$\ \land \t{exp}(x,n,p) \land \t{exp}(y,n,q) \land \t{exp}(z,n,r) \land p+q=r ) )$".
El problema es que no hay manera de ver que las fórmulas utilizadas en la manipulación de la secuencia de codificación de representar fielmente la manipulación de las secuencias, sin ya tener una comprensión de las secuencias! Así que si (hipotéticamente) se rechaza el meta-sistema de las nociones de $\nn$ y secuencias de $\nn$, entonces uno podría considerar la posibilidad de $\t{exp}$ a ser un sin sentido de la frase. Del mismo modo, a menos que ya acepta la existencia de la función exponencial en $\nn$, por encima de la demanda pierde su significado.
Esta es en mi opinión de por qué es interesante considerar las extensiones de PA que tenga explícitamente la función exponencial. Función exponencial de la aritmética (EPT) es uno. De curso de la EPT resultaría último teorema de Fermat en su forma original si la anterior afirmación es verdadera!
