Los residuos de $f'/f$ es igual a $m$.

Question

Así que sé que si $f$ es analítica y tiene un cero de orden $m$ en su centro, a continuación, $f'$ tiene un cero de orden de $m-1$, la cual puede ser demostrado fácilmente.

Sin embargo, no estoy seguro, que se manifiesta en la pregunta, cómo esto se relaciona con los residuos, y cómo probar que el residuo de $f'/f$ es igual a $m$ si $f$ es analítica y tiene un cero de orden $m$. Cualquier ayuda sería muy apreciada, gracias.

Si $f$ es analítica en $|z - z_0| < R$ y tiene un cero de orden $m$$z_0$, muestran que $$Res\left( \frac{f'}{f} ; z_0 \right) = m.$$

Answer 1

Desde $f$ es analítica con un cero de orden $m$$z_0$, podemos escribir $f(z)=(z-z_0)^mg(z)$ donde $g$ es analítica y $g(z_0)\ne0$.

Entonces, tenemos

$$\begin{align} \frac{f'(z)}{f(z)}&=\frac{m(z-z_0)^{m-1}g(z)+(z-z_0)^mg'(z)}{(z-z_0)^mg(z)}\\\\ &=\frac{m}{z-z_0}+\frac{g'(z)}{g(z)} \end{align}$$

Se puede terminar ahora?