Me dijeron que en cualquier espacio que no sea Hausdorff hay al menos dos puntos tales que cualquier secuencia converge a uno si converge al otro. No sé cómo demostrar esto. ¿Me pueden ayudar?
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jasonjwwilliams
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Creo que esto es falso.
Sea $X = \{a,b\}$ y definir una topología en $X$ por delaring $U$ abierto si $a\in U$ ou $U = \emptyset$ .
Entonces $X$ es no Hausdorff como $a$ et $b$ son dos puntos que no pueden estar separados por conjuntos abiertos disjuntos (ya que todo conjunto abierto que contiene a $b$ debe contener $a$ ).
Entonces la secuencia constante $b,b,b,b,...$ converge a $b$ pero no $a$ . Para ver esto, observe que la secuencia no está eventualmente en el conjunto abierto $\{a\}$ .
DiGi
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La afirmación es falsa incluso para $T_1$ espacios. Sea $X$ sea un conjunto incontable, y dé $X$ la topología co-contable: $V\subseteq X$ es abierto si $X\setminus V$ es contable, o $V=\varnothing$ . Entonces todos los subconjuntos contables de $X$ son cerrados, a todos los subconjuntos finitos de $X$ están cerrados, y $X$ es por lo tanto $T_1$ . Por otra parte, una secuencia $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ es convergente si es eventualmente constante, es decir, si hay un $x\in X$ y un $n_0\in\Bbb N$ tal que $x_n=x$ para todos $n\ge n_0$ y en ese caso converge a $x$ y sólo a $x$ .
La afirmación "hay al menos dos puntos tales que cualquier secuencia converge a uno si converge al otro" es algo ambigua.
Podría leerse como "hay $x, y$ con $x \ne y$ tal que cualquier secuencia que converge a $x$ también converge a $y$ ". En este caso equivale a "hay $x, y$ con $x \ne y$ tal que cada vecindad de $y$ es también una vecindad de $x$ ", que es la negación de T1.
Alternativamente, podría significar "hay $x, y$ con $x \ne y$ tal que cualquier secuencia que converja a $x$ también converge a $y$ y cualquier secuencia que converge a $y$ también converge a $x$ ". En ese caso equivale a "hay $x, y$ con $x \ne y$ tal que cada vecindad de $y$ es también una vecindad de $x$ y cada barrio de $x$ también es un barrio de $y$ ", que es la negación de T0.
En cualquier caso, la T2 no tiene nada que ver.
EDITAR: Al volver a leer la pregunta, me he dado cuenta de que había pasado por alto la segunda f de "iff". Teniendo eso en cuenta, la segunda interpretación es la correcta.
