Dos sucesivas binomio experimentos realizados por dos grupos diferentes de personas

Question

Imaginemos dos experimentos:

1) Un grupo de $n=100$ individuos se encuentran bajo la condición de $A$, y realizar algunas pruebas. Entre estos individuos, $y=5$ de los individuos a tener éxito en la prueba.

2) Un grupo de $m=1000$ individuos se encuentran bajo la condición de $\Delta$ y realizar algunas pruebas con dos cuestiones: la primera es posible que un individuo cae bajo las condiciones indicadas $A$, la segunda cuestión es otra condición $B$ (obviamente $B = \neg A$). Entre estos individuos, $x=2$ de los individuos que caen bajo la condición de $A$.

Ahora considere un individuo bajo la condición de $\Delta$ que realizar el experimento 2) y, a continuación, experimento 1) en caso de que cuando cae bajo la condición de $A$. Estamos interesados en la probabilidad de que este individuo para tener éxito en la segunda prueba.

Por supuesto, esta probabilidad es, naturalmente, estimado por $x/m \times y/n$. Pero, ¿cómo evaluar la incertidumbre acerca de esta estimación ?

Tengo en mente un valioso Bayesiano solución: el uso de un (posiblemente noninformative) antes de la distribución en la primera probabilidad de éxito $\theta_1$ y el otro (posiblemente noninformative) antes de la distribución en la segunda probabilidad de éxito $\theta_2$ $(x,m)$ los rendimientos de una distribución posterior para $\theta_1$ $(y,n)$ los rendimientos de una distribución posterior en $\theta_2$, y finalmente obtenemos una distribución posterior en la probabilidad de interés $\theta_1\theta_2$ (suponiendo que independiente de las distribuciones posteriores de $\theta_1$$\theta_2$).

¿Sabes/a imaginar otra solución ?

EDIT : tal vez el siguiente frecuentista solución es valioso : la estimación de la varianza asintótica de $\hat\theta_1$ y la varianza asintótica de $\hat\theta_2$ obtenemos la varianza asintótica de $\hat\theta_1 \hat\theta_2$ multiplicando las dos varianzas. Pero, de hecho, mi verdadero problema es un poco más complicado : hay un tercer experimento y estoy interesado en la estimación de la probabilidad de que dos posibles problemas en la última etapa.

EDIT2: me cansé al escribir el anterior "EDITAR". Más correctamente que estaba teniendo en la mente el Delta-método para derivar el comportamiento asintótico de $\hat\theta_1 \hat\theta_2 - \theta_1\theta_2$ y un intervalo de confianza asintótico.

Answer 1

Su solución es correcta.

Deje que la probabilidad de caer bajo la condición de Un ser $P$, y la probabilidad de éxito en la primera prueba condicional en caer bajo la condición de Un ser $Q$. Quieres encontrar a $PQ$.

Dado $n$$y$, tenemos un beta-distribuido creencia sobre $P$ con los parámetros de $y$$n-y$. Del mismo modo, $Q$ tiene un beta-distribuido creencia con los parámetros de $x$$m-x$. Deja que estas distribuciones tienen la densidad de $f$ $g$ respectivamente.

Así, la probabilidad de PQ es \begin{align} h(z) &= \int_0^1 f(p)g(z/p) \; dp \\ &\propto \int_0^1 p^{y-m}(1-p)^{n-y}\; z^x(p-z)^{m-x} dp. \end{align}