Cartan 3-forma en una Mentira grupo G

Question

¿Alguien tiene una referencia para aprender más acerca de la Cartan $3$-forma en un grupo de colector $G$? He leído que el WZW de Lagrange no es nada más que la integral de la retirada de la Cartan $3$-forma a través de $g:W\rightarrow G$

$WZW = -\frac{1}{6}\int_W \langle \phi_g\wedge[\phi_g\wedge\phi_g]\rangle$,

donde $\phi_g=g^\ast(\phi)$ es el retroceso de la Maurer-Cartan formulario, y le gustaría aprender más acerca de las matemáticas que hay detrás de WZW acciones. Por ej., ¿por qué es el generador de $H^3(G,\mathbb{R})$ al $G$ está conectado, simplemente conexa, compacta Mentira grupo?

Answer 1

Una bastante autónomo de tratamiento de de Rham cohomology de la Mentira de los grupos se da en el primer capítulo de modelos Algebraicos en la geometría por Yves Félix, Juan Oprea, Daniel Tarne.(Aquí hay un acceso abierto copia del primer capítulo)

En paticular, el Cartan 3-formulario como un generador de $H^3(G)$ es tratado en el teorema 1.47 (páginas 23-24).

La idea básica para el cálculo de la cohomology grupos debido a Cartan, Weil, Chevalley es:

1. Para establecer un isomorfismo entre la de Rham cohomology de un pacto conectado Mentira grupo y el espacio de la izquierda y la derecha formas invariantes por un promedio de más del grupo de colector.

2. Para establecer un isomoprphism del espacio de la izquierda y la derecha formas invariantes a la Mentira de álgebra cohomology por la restricción a la unidad de elemento. (Esta parte se desarrolla en el ejercicio 1.7 página 53).