Doble de la suma y la función zeta

Question

Esta es una investigación personal que vino a un final , ya que los resultados no eran los que estaban previstos. Yo era incapaz de encontrar una solución por lo tanto, he puesto el tema aquí:

Probar (es ciertamente válida porque se ha comprobado en un equipo) que la siguiente identidad se tiene:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left ( n^2+k^2 \right )^2}=\zeta(2)\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\left ( 2n-1 \right )^2}-\zeta(4)$$

mientras que $\zeta$ representa la función zeta define como $\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}, \;\; \mathfrak{Re}(s)>1 $. Por supuesto, los dos valores de $\zeta$ que aparecen aquí son conocidos. Para completar de sakeness cito ellos :

$$\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}, \;\; \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$$

Ahora, también se puede ver (no triviales ) que:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 \sinh^2 \pi n}=\frac{4}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left ( n^2+k^2 \right )^2} -\frac{\pi^2}{60}$$

Esta ecuación también sostiene (comprobado por equipo). El siguiente resultado fue extraído mediante el uso de la fórmula conocida $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{z+n}=\frac{\pi}{\tan \pi z}$ y el conocido (?) Serie de Fourier: $$\displaystyle \frac{1}{\sinh^2 \pi z}=\frac{1}{\pi^2 z}+\frac{4z^2}{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left ( z^2+k^2 \right )^2}-\frac{2}{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{z^2+k^2} $$

Por supuesto, la última suma en la última ecuación puede ser fácilmente calculada a través de los residuos. Lo que queda ahora es la prueba de la primera ecuación en el post. Nadie puede garantizar que va a ser una tarea fácil.

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Algunos comentarios:

1. Me llegó a través de la identidad en un libro. He comprobado la validez con un ordenador y sí, sí.

2. He ckecked suficientes libros para ver si hay en alguna parte , pero por desgracia no fue así. Así que, supongo que no es tan famoso.

3. También puede estar vinculado con otras sumas (simple o doble). Por desgracia no tengo mis papeles en frente de mí para escribirlas. Entonces, yo creo que es un interseting identidad.

Agradecería su ayuda.

Answer 1

Vamos a considerar el doble de la suma de todos los $\,(n,k)\in\mathbb{Z}^2\,$ excepto el origen $(0,0)$ : $$\tag{1}S(s):=\sum_{(n,k)\neq (0,0)}\frac{1}{\left ( n^2+k^2 \right )^s}=4\left(\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left ( n^2+k^2 \right )^s}+\zeta(2\,s)\right)$$ Este es un "Lorenz–Hardy suma" (ref. Lorenz L. $1871$ "Bidrag tiltalienes theori" y G. H. Hardy $1919$ "En algunos de la integral definida, considerado por Mellin" en sus collected papers vol $7$).

Método analítico

El Mellin de transformación de una función de $f$ está definido por : $$\tag{2}\{\mathcal{M}f\}(s):=\int_0^\infty t^{s-1}f(t)\;dt$$ aplicado a $\;f:t\mapsto e^{\large{-mt}}\;$ y a partir de la definición de la función Gamma da : $$\tag{3}\frac{\Gamma(s)}{\left(m \right)^s}=\int_0^\infty t^{s-1}\,e^{-m\,t}\;dt$$ Suponiendo que $\Re(s)>1$ podemos reescribir nuestra doble de la suma como : \begin{align} \Gamma(s)\,S(s)&=\sum_{(n,k)\neq (0,0)}\frac{\Gamma(s)}{\left ( n^2+k^2 \right )^s}\\ &=\sum_{(n,k)\neq (0,0)}\int_0^\infty t^{s-1}\,e^{-(n^2+k^2)\,t}\;dt\\ &=\int_0^\infty t^{s-1}\sum_{(n,k)\neq (0,0)}\,e^{-(n^2+k^2)\,t}\;dt\\ &=\int_0^\infty t^{s-1}\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\,e^{-n^2\,t}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\,e^{-k^2\,t}-1\right)\;dt\\ \tag{4}&=\int_0^\infty t^{s-1}\left(\theta_3(0,e^{-t})^2-1\right)\;dt\\ \end{align} es decir, la transformada de Mellin $\,f:t\mapsto \theta_3(0,e^{-t})^2-1\,$ cuando la Jacobi theta función de $\theta_3$ es definido por (en esta respuesta vamos a suponer implícitamente que $z=0$$q=e^{-t}$) : $$\tag{5}\theta_3(z,q):=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}e^{2niz}$$

En $1829$ Jacobi publicó su profunda funciones elípticas libro "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum", donde obtuvo numerosas identidades , incluyendo la fórmula de $4$) de la página $103$: $$\tag{6}\theta_3(0,q)^2=\frac {2\,K}{\pi}=1+4\sum_{n=1}^\infty \frac{q^n}{1+q^{2n}}$$ ($K$ es la integral elíptica Completa de primera especie , pero no la usamos aquí)

La serie a la derecha de $(6)$ es una Lambert de la serie. La expansión del denominador en el poder de la serie y la sustitución de la doble suma de $(4)$ le da :

\begin{align} \Gamma(s)\,S(s)&=4\int_0^\infty t^{s-1}\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=0}^\infty (-1)^m q^n\,q^{2mn}\;dt\\ &=4\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \int_0^\infty t^{s-1}e^{-n(2m+1)t}\;dt\\ &=4\,\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{\Gamma(s)}{(n(2m+1))^s}\\ &=4\,\Gamma(s)\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^s}\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m+1)^s}\\ &=4\,\Gamma(s)\,\zeta(s)\,\beta(s)\\ \\ &\text{so that }\\ \\ \tag{7}\sum_{(n,k)\neq (0,0)}\frac{1}{\left ( n^2+k^2 \right )^s}&=4\,\zeta(s)\,\beta(s),\quad\Re(s)>1\\ &\text{and}\\ \tag{8}\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left ( n^2+k^2 \right )^s}&=\zeta(s)\,\beta(s)-\zeta(2s),\quad\Re(s)>1\\ \\\end{align}

$\qquad\qquad\qquad$ $\beta$ la beta de la función de Dirichlet.

Este poderoso método permite deducir muchas formas cerradas de celosía sumas a partir de la conocida theta identidades.

Voy a tratar de añadir uno (o más) alternativas derivaciones cuando el tiempo lo permite...

Referencias :

• Glasser y Zucker 1980 "Celosía sumas" En "la Química Teórica, Avances y Perspectivas Vol $5$".
• Borwein y Borwein 1987 "Pi" y la junta general de accionistas".
• Borwein, Glasser, McPhedran, Wan y Zucker 2013 "Celosía Sumas de Entonces y de Ahora" (y mayor de los trabajos de estos autores)