Es $\Bbb R$ definible en $(\Bbb C,0,1,+,*,\exp)$ ?

Question

¿Existe una fórmula de primer orden (x) con exactamente una variable libre $x$ en el lenguaje de campos junto con el símbolo de función unario $\exp$ de tal manera que en la interpretación estándar de este lenguaje en $\Bbb C$ (donde $\exp$ se interpreta como la función exponencial $x \mapsto e^x$ ), $(x)$ se cumple si $x \in \Bbb R$ ?

Mis pensamientos: Si uno toma la teoría algebraica del campo complejo sin la función exponencial, entonces $\Bbb R$ no es definible porque existen isomorfismos de $\Bbb C$ mapear reales a números no reales. ¿Funciona un planteamiento similar en este caso? En particular, ¿existe algún otro isomorfismo de la exponencial $\Bbb C$ estructura además de la identidad y la conjugación compleja?

Answer 1

Se trata de un importante problema abierto en la teoría de modelos. Intentos recientes de estudiar ${\mathbb C}_{\exp}$ se han centrado en la pseudoexponenciación de Zilber, que es una bonita estructura y módulo algunas conjeturas algebraicas (muy serias) coincide con ${\mathbb C}_{\exp}$ . El campo pseudoexponencial de Zilber es cuasimimimal (es decir, todo conjunto definible es contable o cocontable) y por tanto $\mathbb R$ no es definible allí. Eche un vistazo a Papel de rotulador para una introducción.