Euler del phi de la función y distinto de los números primos

Question

Es cierto que $\phi(p) = (p-1)$ sólo si p es un primo. Yo también había probado (no estoy seguro de si esto es un hecho trivial o no) que $\phi(pq) = (p-1)(q-1)$ sólo si p y q son distintos de los números primos.

Sin embargo, estoy teniendo dificultad para generalizar el resultado. Ciertamente parece cierto que si $\phi(p_1\cdot p_2\cdots p_n) = (p_1 - 1)(p_2 - 1)\cdots (p_n-1)$, a continuación, cada una de las $p_i$ son distintos de los números primos.

Lo que yo había hecho en la inicial de prueba para el caso n = 2 fue el uso de la fórmula de $\phi(pq) = \phi(p)\phi(q)\frac{d}{\phi(d)}$ donde d = mcd(p,q) y el hecho de que si $a \mid b$ $\phi(a) \mid \phi(b)$ que $d \mid 1$. El resultado de la siguiente manera muy fácilmente después de mostrar que p y q son coprime. Sin embargo, esta prueba no parece ser extensible al caso general. Espero que alguien me pueda ayudar con esto.

Answer 1

El resultado general se busca es malo. Por ejemplo $$\phi(4 \times 4 \times 4 \times 9 \times 9)=\phi(64)\phi(81)=(32)(54)$$. Tenga en cuenta que $$(4-1)(4-1)(4-1)(9-1)(9-1)=(27)(64)=(32)(54)$$

Por lo que en general $\phi(a_1a_2\cdots a_n)=(a_1-1)(a_2-1)\cdots(a_n-1)$ no implica que el $a_i$ son distintos de los números primos.

Espero que un poco de juego iba a dar un contraejemplo con menor $n$ a los 5 tenemos encima.

Answer 2

El citado conjetura tiene infinitamente muchos contraejemplos. Es decir,

$$\rm\phi(p_1\cdot p_2\cdots p_n)\ =\ (p_1 - 1)\ (p_2 - 1)\cdots (p_n-1)\ \ \Rightarrow\ \ p_i\ distinct\ primes$$

es falsa para todos los números primos $\rm\:p > 3\:$ en los siguientes ejemplos

$$\rm\ \phi(3\cdot 3\cdot 4\cdot p)\ =\ 2\cdot 2\cdot 3\cdot (p-1)\ $$

$$\rm\ \phi(2\cdot 4\cdot 9\cdot p)\ =\ 1\cdot 3\cdot 8\cdot (p-1)\ $$