La propia variable contador definida para la matriz.

Question

Demostrar que $ e^{-t\|A\|} \le \|e^{tA}\| \le e^{t\|A\|} $ para cualquier matriz $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, t > 0$ donde $e^{tA} = I + tA + t^2 \dfrac{A^2}{2!} + t^3 \dfrac{A^3}{3!} + \cdots$

Es fácil probar que la parte derecha de la desigualdad de $ \|e^{tA}\| \le e^{t\|A\|} $ $t > 0$: $\|e^{tA}\| = \| I + tA + t^2 \dfrac{A^2}{2!} + t^3 \dfrac{A^3}{3!} + \cdots \| \le 1 + \|tA\| + \dfrac{\|tA\|^2}{2!} + \cdots = e^{\|tA\|}$

Pero me atoré con la parte izquierda.

Gracias por cualquier ayuda o ideas!

Answer 1

La matriz exponencial satisface la identidad de $e^a e^B = e^{A+B} $ si las matrices $A$ $B$ conmutar $(AB=BA)$. En particular, $e^{tA} e^{t(-A)} = I$ y por lo tanto $$ 1 = \| I \| = \| e^{tA} e^{t(-A)} \| \le \| e^{tA}\| \cdot \| e^{t(-A)}\| \, . $$ El uso de la ya probada límite superior (por $-A$) uno se $$ 1 \le \| e^{tA}\| \cdot e^{t\| -\|} = \| e^{tA}\| \cdot e^{t\|\|} \, , $$ a partir de la cual el límite inferior de la siguiente manera.