Anillo homomorphisms $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Question

Tengo esta pregunta en una tarea:

Determinar que todos los anillos homomorphisms de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, también prueban que el único anillo de automorphism de $\mathbb{R}$ es la identidad.

Sé que $\mathbb{R}$ es un campo, por lo que la única ideales son $\mathbb{R}$$\{0\}$. Por lo tanto, la homomorphisms debe ser la identidad y la función de $f(x)=0$ donde $x \in \mathbb{R}$.

Pero, ¿cómo puedo demostrar que estos son los únicos dos homomorphisms?

También, me dijeron que usara el hecho de que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, ¿cómo puedo utilizar esta sugerencia?

Answer 1

$f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ está determinada únicamente por $f(1)$. Por qué? Por inducción, $f(n)=n\cdot f(1)$$n\in\mathbb N$. Luego por la aditividad, $f(x)=x\cdot f(1)$ $x\in \mathbb Z$ y, finalmente, también para $x\in\mathbb Q$. Podemos hacer uso de la densitiy de $\mathbb Q$ si se demuestra que $f$ es continua. De hecho, si $x\ge0$ $x=y\cdot y$ algunos $y\in\mathbb R$, por lo tanto $f(x)=f(y)f(y)\ge 0$, por lo $f$ preserva $\ge$ y, por tanto, $|y-x|\le \frac 1n$ implica $|f(y)-f(x)|\le \frac1n|f(1)|$ $f$ es continua. Llegamos a la conclusión de que $f(x)=x\cdot f(1)$ todos los $x\in\mathbb R$.

Qué valores de $f(1)$ están permitidas? Debemos tener $f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\cdot f(1)$, por lo tanto $f(1)=0$ o $f(1)=1$.