Sé que cos(6ϕ)≡32c6−48c4+18c2−1 donde c=cosϕ.
También sé que cuando cos(6ϕ)=0, luego ϕ=kπ12 (k=1,3,5,7,9,11).
¿Cómo puedo encontrar el valor exacto de: cos(π12)cos(5π12)cos(7π12)cos(11π12)
Sé que cos(6ϕ)≡32c6−48c4+18c2−1 donde c=cosϕ.
También sé que cuando cos(6ϕ)=0, luego ϕ=kπ12 (k=1,3,5,7,9,11).
¿Cómo puedo encontrar el valor exacto de: cos(π12)cos(5π12)cos(7π12)cos(11π12)
Los mosquitos bombardear algebraicas lineales solución: se puede demostrar que la matriz tridiagonal
T=12(−1110110110110111)
tiene los autovalores cos(2k−1)π12,k=1,…,6. Ya que el producto de los valores propios es igual al determinante de la matriz,
cosπ12cos5π12cos7π12cos11π12=det
A partir de las fórmulas: \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\\\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)
tenemos: \cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\big(\cos(a+b)+\cos(a-b)\big)
Aplicar esta fórmula:
\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) \\=\frac{1}{2}\big(\cos(\pi)+\cos(\frac{10\pi}{12})\big)\frac{1}{2}\big(\cos(\pi)+\cos(\frac{2\pi}{12})\big)=\frac{1}{4}\big(-1-\cos(\frac{2\pi}{12})\big)\big(-1+\cos(\frac{2\pi}{12})\big)=\frac{1}{4}\big(1-\cos(\frac{2\pi}{12})^2\big)
Usted sin duda sabe: \cos(\frac{2\pi}{12})=\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}
El resultado es: \frac{1}{16}
Como \frac{11\pi}{12}=\pi-\frac\pi{12} \frac{7\pi}{12}=\pi-\frac{5\pi}{12}
y \cos(\pi-x)=-\cos x,
\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)
=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)\left( - \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)\right)\left( -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)
=\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)\right)^2
Ahora como \frac{5\pi}{12}=\frac\pi2-\frac\pi{12} \sin2x=2\sin x\cos x,
\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sin \frac\pi6}2=\frac{\frac12}2=\frac14
SUGERENCIA:
ASÍ, la ecuación cuyas raíces son \cos\frac{r\pi}{12} donde r=3,9 es
\left(c-\cos \frac{3\pi}{12}\right)\left(c-\cos \frac{9\pi}{12}\right)=0
\implies \left(c-\frac1{\sqrt2}\right)\left(c+\frac1{\sqrt2}\right)=0\text{ as }\cos \frac{9\pi}{12}=\cos\left(\pi- \frac{3\pi}{12}\right)=-\cos\frac{3\pi}{12}
\implies 2c^2-1=0
ASÍ, la ecuación cuyas raíces son \cos\frac{r\pi}{12} donde r=1,5,7,11
\frac{32c^6-48c^4+18c^2-1}{2c^2-1}=0
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