¿Cómo puedo encontrar el valor exacto de $\cos\frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}\cos\frac{7\pi}{12}\cos\frac{11\pi}{12}$?

Question

Sé que $\cos(6\phi)\equiv32c^6-48c^4+18c^2-1$ donde $c=\cos\phi$.

También sé que cuando $\cos(6\phi)=0$, luego $\phi=\frac{k\pi}{12}$ ($k = 1,3,5,7,9,11$).

¿Cómo puedo encontrar el valor exacto de: $$\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)$$

Answer 1

Los mosquitos bombardear algebraicas lineales solución: se puede demostrar que la matriz tridiagonal

$$\mathbf T=\frac12\begin{pmatrix}-1&1&&&&\\1&0&1&&&\\&1&0&1&&\\&&1&0&1&\\&&&1&0&1\\&&&&1&1\end{pmatrix}$$

tiene los autovalores $\cos\dfrac{(2k-1)\pi}{12},\quad k=1,\dots,6$. Ya que el producto de los valores propios es igual al determinante de la matriz,

$$\cos\frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}\cos\frac{7\pi}{12}\cos\frac{11\pi}{12}=\frac{\det\mathbf T}{\cos\tfrac{\pi}{4}\cos\tfrac{3\pi}{4}}=\frac{-\tfrac1{32}}{-\tfrac12}=\frac1{16}$$

Answer 2

A partir de las fórmulas: $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\\\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$

tenemos: $\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\big(\cos(a+b)+\cos(a-b)\big)$

Aplicar esta fórmula:

$\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) \\=\frac{1}{2}\big(\cos(\pi)+\cos(\frac{10\pi}{12})\big)\frac{1}{2}\big(\cos(\pi)+\cos(\frac{2\pi}{12})\big)=\frac{1}{4}\big(-1-\cos(\frac{2\pi}{12})\big)\big(-1+\cos(\frac{2\pi}{12})\big)=\frac{1}{4}\big(1-\cos(\frac{2\pi}{12})^2\big)$

Usted sin duda sabe: $\cos(\frac{2\pi}{12})=\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

El resultado es: $\frac{1}{16}$

Answer 3

Como $\frac{11\pi}{12}=\pi-\frac\pi{12}$ $\frac{7\pi}{12}=\pi-\frac{5\pi}{12}$

y $\cos(\pi-x)=-\cos x,$

$$\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)$$

$$=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)\left( - \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)\right)\left( -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)$$

$$=\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)\right)^2$$

Ahora como $\frac{5\pi}{12}=\frac\pi2-\frac\pi{12}$ $\sin2x=2\sin x\cos x,$

$$\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sin \frac\pi6}2=\frac{\frac12}2=\frac14$$

Answer 4

SUGERENCIA:

ASÍ, la ecuación cuyas raíces son $\cos\frac{r\pi}{12}$ donde $r=3,9$ es

$$\left(c-\cos \frac{3\pi}{12}\right)\left(c-\cos \frac{9\pi}{12}\right)=0$$

$$\implies \left(c-\frac1{\sqrt2}\right)\left(c+\frac1{\sqrt2}\right)=0\text{ as }\cos \frac{9\pi}{12}=\cos\left(\pi- \frac{3\pi}{12}\right)=-\cos\frac{3\pi}{12}$$

$$\implies 2c^2-1=0$$

ASÍ, la ecuación cuyas raíces son $\cos\frac{r\pi}{12}$ donde $r=1,5,7,11$

$$\frac{32c^6-48c^4+18c^2-1}{2c^2-1}=0$$

Ahora, aplique Vieta Fórmulas 1,2,3