¿Cómo se puede demostrar que, si $p_n$ indica el $n$th prime, $n > 3$, luego
$$p_n < p_1 + p_2 +\cdots + p_{n-1}$$
el uso de la Bertrand conjetura y la inducción?
Aquí es lo que he encontrado, pero no estoy seguro de si es correcto:
Deje $n=4$. A continuación, $p_4 = 7$, por lo tanto tenemos:
$$7 < 2+3+5 = 10.$$
Supongamos que el enunciado es verdadero para$n$, de modo que $p_n < p_1 + p_2 +\cdots + p_{n-1}$.
Queremos demostrar que esto es cierto para $n+1$.
$$p_{n+1} < p_1 + p_2 +\dotsc + p_{n-1} + p_n.$$
Pero se supone que $p_n < p_1 + p_2 +\cdots + p_{n-1}$, por lo tanto tenemos:
$$p_{n+1} < p_1 + p_2 +\cdots + p_{n-1} + p_n < p_n + p_n = 2p_n.$$
Sabemos que $p_n < p_{n+1}$, por lo tanto tenemos:
$p_n < p_{n+1} < 2p_n$, lo cual es cierto por la Bertrand conjetura. $\blacksquare$
