Determinar si un ideal es principal o no

Question

Deje $I=\{a+b\sqrt{-3}: a+b \text{ even}\}$ un ideal en $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$. Quiero determinar si $I$ es un director ideal o no.

He estado tratando de trabajar con el ideal de $(2)$. Sé que $(2)\subset I$, pero $I$ no $(2)$ desde $(2)$ no contiene elementos de la forma $(2a+1)+(2b+1)\sqrt{-3}$ aunque $(2a+1)+(2b+1)=2a+2b+2$, lo que es y, por tanto, en $I$. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

$\textbf{Hint:}$ $I$ contiene $2$$1 + \sqrt{-3}$, dos no asociar los elementos de la norma $4$. Hay elementos de la norma $2$$R$?