Inaccesible cardenal y de la Jerarquía de von Neumann

Question

He leído un par de días atrás, que si $k$ es inaccesible, a continuación, $V_k=H(k)$ donde $V$ es la jerarquía de von Neumann y $H(k)$ la clase de conjuntos que se heredititarily de cardinalidad $< k$.

Mi pregunta sería: ¿hay alguna singular $k$ que $V_k=H(k)$? Me las arreglé para demostrar que si $K$ es regular, a continuación, $V_k=H(k)$ fib $k$ inaccesible o $k=\omega$, pero estoy desorientado acerca de un ejemplo?

Answer 1

Usted no necesita la parte regular. Si $\kappa > \omega$, $V_\kappa = H_\kappa$ si y sólo si $\kappa = \beth_\kappa$. (Kunen \textit{la Teoría de conjuntos} 78.)

Definir $a_0 = \aleph_0$. Definir de forma recursiva, $a_{i + 1} = \beth(a_i)$. Vamos $\alpha = \lim_{i< \omega} a_i$. $\beth(\alpha) = \alpha$. $\alpha$ ha cofinality $\omega$. Por lo $\alpha$ es un singular cardenal con $\beth(\alpha) = \alpha$.

Espero que ahora está correcto.