Una cuestión menor sobre el Conjunto de Cantor

Question

Soy auto de la enseñanza análisis y el segundo capítulo es acerca de algunos conceptos básicos de la topología.

Según el libro "Principios de Análisis Matemático (3º)" de Walter Rudin, el Conjunto de Cantor es construido de la siguiente manera, de lo que yo sé.

Deje $E_0$ ser el intervalo de $[0,1] \subset \mathbb {R}$. Dividir en tres partes iguales y eliminar el segmento interno $({1\over{3}},{2\over3})$, vamos a $E_1$ ser la unión de los intervalos de $[0,{1\over3}]\text{ and }[{2\over3},1]$. A continuación vamos a tomar el segmento interno de cada uno de los intervalos en $E_1$ y así sucesivamente...

El conjunto infinito $P = \cap_{i=1}^{\infty} E_i $ es el llamado Conjunto de Cantor.

Entiendo que $E_1 \supset E_2 \supset E_3 ...$ $E_i$ es la unión de $2^i$ intervalos de cada uno con longitud de $3^{-i}$.

Y también entendí por qué va a ser un conjunto perfecto.

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Sin embargo, esta es la parte que yo no podía entender del libro. de forma intuitiva de pensar que lo puedo ver que P no contiene ningún segmento de $(a,b)$.

El libro dice, "Ningún segmento de la forma" $$({3k+1\over 3^m},{3k+2\over 3^m})$$ "where k and m are positive integers, has a point in common with P. Since every segment $(a,b)$ contains a segment of this form, if $$3^{-m} < {b-a \over 6}$$ P no contiene el segmento."

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¿Cómo surgió con el número 6 ? No es suficiente para encontrar un "lo suficientemente grande como valor de m" tal que $3^{-m} < b-a$ ? Sería más útil si alguien pudiera explicarlo con algunos diagrama. O si usted tiene la suficiente confianza de que usted me puede ayudar con solo palabras, estoy abierto a eso.

Answer 1

Este es sin duda mucho más simple de lo que es en Rudin del texto:

El conjunto de Cantor $P$ contiene ningún segmento de $(\alpha,\beta)$$\alpha < \beta$.

Prueba: Por definición, $E_n$ no contiene segmentos de longitud mayor que $3^{-n}$. Para algunos $m > 0$, el segmento de $(\alpha,\beta)$ satisface $\beta - \alpha > 3^{-m}$ $(\alpha,\beta) \not\subset E_m$ y por lo tanto, $(\alpha,\beta) \not\subset \bigcap_{n=1}^{\infty} E_n = P$. $_\Box$

Answer 2

Creo que se podría conseguir lejos con 4 en lugar de 6. El intervalo se divide en segmentos de longitud $3^{-m}$ (un segmento estándar, digamos), pero desea escoger un segmento estándar, donde el numerador en cada extremo no es un múltiplo de tres. Que es cada tercer segmento estándar. Cualquier segmento de longitud mayor de cuatro segmentos contiene tres consecutivos estándar de los segmentos, y por lo tanto debe contener uno de la forma requerida.

Debido a que usted va a recoger a cabo cada tercer segmento estándar como especiales, usted tiene que asegurarse de que usted incluyó en su intervalo, por lo que necesita que el intervalo sea lo suficientemente largo (relativa a $m$) para asegurarse de que usted tiene cubiertos.

Podíamos usar 2 en cambio, si la prueba no se especifica como todo el segmento estándar. Cualquier segmento de longitud $(2+\epsilon)3^{-m}$ $(\epsilon \lt 1)$ contiene una superposición (o quizás dos) con uno de los prohibidos y los segmentos de una de esas superposiciones tiene una longitud de, al menos,$\cfrac {\epsilon}{2\times3^m}$. Y eso es suficiente para mostrar una contradicción.

Así que la prueba no es muy fuerte como lo que podría ser, pero no funciona.

Answer 3

Una idea importante aquí es la prueba pierde nada por hacer $m$ más grande de lo que debe ser, por lo que incluso si la declaración es válido para cada $m$ $3^{-m} < (b-a)$ I todavía puede optar $3^{-m} < \frac{b-a}6$. Podría salvar al lector un par de minutos pensando en el caso límite.

En cuanto a tu sugerencia, supongamos que yo establezca $a = \frac {3k + 1+\epsilon}{3^m}$, $b = \frac{3k + 5 -\varepsilon}6$ a continuación, $b-a = \frac{4-2\varepsilon}{3^m} > 3^{-m}$ pero $(a,b)$ no contiene ningún intervalo en el formulario de $\left(\frac {3k + 1}{3^m},\frac {3k + 2}{3^m}\right)$.

Marca Bennet excelente respuesta sólo ha aparecido lo que sugiere que la $3^m < \frac{b-a}4$ es lo suficientemente bueno. Lo cual es cierto, y como demuestra este caso es el más pequeño de $m$ para que la declaración sostiene.

El punto acerca de la elección de $6$ es que un intervalo de longitud de $ 6\cdot 3^{-m}$ desafiante contiene al menos cuatro intervalos consecutivos en la forma $\left(\frac{i}{3^m}, \frac{i+1}{3^m}\right)$, posiblemente siempre cinco, pero yo no quiero tener que pensar demasiado sobre los puntos finales. Entonces porque me puede hacer esto por cuatro períodos consecutivos de $i$ me puede optar $i = 3k+1$ durante al menos uno de ellos. Tal vez sólo necesito tres para hacer esto, pero no me importa, es muy obvio para cuatro y me ha salvado a mí mismo una migaja de esfuerzo mental. Con la prueba: con el mínimo de esfuerzo intelectual gastado en mi elección de $m$.