Distancia más corta medida en la norma $||\cdot ||$ desde el punto a una esfera en la norma $||*||$

Question

Recientemente he encontrado este teorema, el cual es utilizado en algunos algoritmos de agrupamiento:

Vamos $x,v \in \mathbb{R}^p$, $r>0$, $||\cdot ||_{\ast}$ una norma en $\mathbb{R}^p$ $\partial B_{||\cdot||_{\ast}}(v,r) = \{ y\in\mathbb{R}^p: ||y-v||_{\ast}=r \}$ ser la bola cerrada de radio $r$ centrada en $v$. A continuación, la distancia más corta, como medido por el $||\cdot ||_{\dagger}$, desde cualquier punto en $\partial B_{||\cdot||_{\ast}}(v,r)$ $x$$\left|\ ||x-v||_{\ast}-r \right|.$

Sé que esto tiene para $||\cdot ||_2,$, pero ¿cómo se podía demostrar que esto es válido para cualquiera de los dos pares de normas $||\cdot ||_{\ast}$$||\cdot ||_{\dagger}$?

He tratado de rastrear el artículo original, porque todos los artículos que he visto que han sido citados a hacer exactamente eso, acaba de citar, sin dar la prueba.

Esto no es tarea ni nada de eso, solo soy curioso en cuanto a lo que se podría utilizar cuando se trata de demostrar esto?

EDIT: Fuente de esta afirmación: la Página 65.

Ahora que hay un contraejemplo en una de las respuestas, supongo que solo hay una norma aquí. Pido disculpas por la confusión, pero como podrán ver en la fuente, las dos normas están marcados de manera diferente, lo que me llevó a la conclusión de que ellos no son el mismo.

Answer 1

Su reclamo es malo incluso si una de las normas es la norma Euclídea. Tome $p=2, \ r=1, \ v=(0,0)$$x=(2,2)$. Tomamos los siguientes dos normas

$$ \Vert (y,z) \Vert_1 := \sqrt{y^2+z^2}, \quad \Vert (y,z) \Vert_2:= \frac{1}{2} \max\{\vert y \vert, \vert z \vert \}.$$

Entonces $$ \min_{\Vert w \Vert_1=1} \Vert w - x \Vert_2 \geq \frac{1}{2} > 0 = \vert \ \Vert x \Vert_2 - 1 \vert = \vert \ \Vert x - v \Vert_2 - r\vert.$$

Donde hemos utilizado

$$ \Vert x \Vert_2 = \Vert (2,2) \Vert_2 = \frac{1}{2}\max\{ \vert 2 \vert, \vert 2 \vert \} = 1.$$

La primera desigualdad se sigue de la siguiente considersation.

$$1= \Vert (w_1, w_2) \Vert_1 \Rightarrow 1 = 1^2 = w_1^2 + w_2^2 \Rightarrow \max \{ \vert w_1\vert, \vert w_2 \vert \} \leq 1.$$ Por lo tanto, si $\Vert (w_1, w_2) \Vert_1 = 1 $, luego

$$ \Vert (w_1, w_2) - x \Vert_2 = \frac{1}{2} \max \{ \vert w_1 - 2\vert, \vert w_2 - 2 \vert\} =\frac{1}{2} \max \{ 2 - w_1, 2-w_2\} \geq \frac{1}{2}.$$

Answer 2

Con las mismas normas de una demostración utiliza la siguiente. El uso de la norma subadditivity, para cualquier $b$ en el ámbito:

$$\|b\| \le \|b-x\|+ \|x\|$$ y $$\|x\| \le \|x-b\|+ \|b\|$$ así que todo: $$\|x-b\| \ge \max(\|b\|-\|x\|,\|x\|-\|b\|) = |\|x\|-r|\,.$$

Por desgracia, esto no parece funcionar para diferentes normas en general. Tome $ p=2$ $l_q$ $l_r$ dos normas, $q,r \ge 1$. Tome $v$ en el origen (porque juega un papel poco importante aquí), $r=1$, $x=(1,1)$ en la diagonal. Entonces el número mínimo de $l_r$ norma para la $l_q$ bola es $m=2^{1/r}(1-1/2^{1/q})$. Y su fórmula da $n=2^{1/q}-1$.

Las dos cantidades son iguales si y sólo si $ q =r$. Tenga en cuenta que el anterior se generaliza con la mayor dimensión de $p\ge 2$.

[EDITAR] sólo he encontrado un papel por Bezdek en 1995: Shell-prototipo de modelos de agrupación en clústeres. El teorema (recortada por el registro):

Al parecer sólo hay una "dado" de la norma. Supongo que el $\|*\|$ representa un comodín-tipo de anotaciones que significa "cualquier argumento", mientras que $\|\cdot\|$ es la notación funcional.