Duda acerca de la probabilidad de ejercicio

Question

Yo soy una de las estadísticas de profesor en una universidad. Un día un estudiante se acercó con una duda sobre un ejercicio acerca de la probabilidad. El texto dice así:

Una persona tiene dos cajas de $A$$B$. En el primero de ellos ha $4$ bolas blancas y $5$ bolas negras y en la segunda ha $5$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Esta persona toma al azar una bola de la primera caja y la puso en el segundo cuadro. Después de que él toma una bola de la segunda caja. Hallar la probabilidad de tomar las bolas del mismo color en este proceso, que se yo.e, la que es tomada del cuadro de $A$ $B$y a la toma de la caja de $B$).

El estudiante realizó los siguientes: Deje $C$ ser el caso de las bolas del mismo color en el proceso arriba descrito. Deje $W$ ser el evento de la toma de bolas Blancas de ambos cuadros y $Bl$ el evento de la toma de bolas negras de ambos cuadros. Deje $Wb_1$ ser el caso de una bola blanca de la primera caja y $Wb_2$ el caso de una bola blanca de la segunda caja. Lo mismo con $Blb_1$$Blb_2$. A continuación,

\begin{align} \mathbb P(C)&=\mathbb P(W)+\mathbb P(Bl)\\ &= \mathbb P(Wb_1)\mathbb P(Wb_2)+\mathbb P(Blb_1)\mathbb P(Blb_2)\\&= \frac49 \cdot\frac6{10} + \frac59\cdot\frac5{10} \end{align}

Yo le dije al estudiante el razonamiento es incorrecto, porque él tiene el uso de la probabilidad condicional debido a que los eventos $Wb_1$ $Wb_2$ $Blb_1$ $Blb_2$ no son independientes. Una probabilidad del profesor (su maestro) le dijo a la alumna que estaba en lo correcto y por eso hago este post. ¿Quién tiene la razón? Gracias!

Answer 1

El cálculo en el lado derecho es la correcta; sólo la notación es malo, ya que como dices la mano derecha de los factores en ambos términos son probabilidades condicionales. Una mejor manera de escribir esto sería

$$ P(\text{C})=P(\text{W})+P(\text{Bl})= P(\text{Wb1})P(\text{Wb2}\mid\text{Wb1})+P(\text{Blb1})P(\text{Blb2}\mid\text{Blb1})=\frac49\cdot\frac6{10}+\frac59\cdot\frac5{10}\;. $$

Answer 2

Dividido en distintos eventos, y añadir sus probabilidades:

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La probabilidad de elegir blanco desde el primer cuadro y, a continuación, a partir de la segunda caja es:

$$\frac{4}{9}\cdot\frac{6}{10}=\frac{24}{90}$$

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La probabilidad de elegir en negro desde el primer cuadro y, a continuación, a partir de la segunda caja es:

$$\frac{5}{9}\cdot\frac{5}{10}=\frac{25}{90}$$

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Así que la probabilidad de elegir el mismo color es:

$$\frac{24}{90}+\frac{25}{90}=\frac{49}{90}$$

Answer 3

Como ya se ha señalado, la precisa y cuidadosa elección de la notación es de suma importancia.

El evento $C$ de la elección del mismo color es distinto de la unión de dos eventos independientes, por lo que es mejor elegir la notación siguiente: Vamos a $(b_1, b_2)$ ser el resultado aleatorio de los dos balón dibuja en la orden, donde a $b_i \in \{W, B\}$$i = 1, 2$. Por lo tanto, queremos: $$\begin{align*} \Pr[(W,W) \cup (B,B)] &= \Pr[(W,W)] + \Pr[(B,B)]. \end{align*}$$ Now consider the first term on the RHS: $$\Pr[(W,W)] = \Pr[b_1 = W \cap b_2 = W] = \Pr[b_2 = W \mid b_1 = W]\Pr[b_1 = W],$$ by the definition of conditional probability. Similarly, $$\Pr[(B,B)] = \Pr[b_2 = B \mid b_1 = B]\Pr[b_1 = B].$$ Now we easily see $$\Pr[b_1 = W] = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9},$$ and $$\Pr[b_1 = B] = \frac{5}{4+5} = \frac{5}{9},$$ and the conditional probabilities are $$\Pr[b_2 = W \mid b_1 = W] = \frac{5+1}{4+5+1} = \frac{6}{10},$$ and $$\Pr[b_2 = B \mid b_1 = B] = \frac{4+1}{4+5+1} = \frac{5}{10}.$$ Then we get the desired probability $$\Pr[(W,W) \cup (B,B)] = \frac{4(6) + 5(5)}{9(10)} = \frac{49}{90}.$$ Note how we have clearly defined random variables $b_1, b_2$. Precisa la notación es crucial no sólo para resolver problemas, sino también en la fabricación de la solución inteligible y rigurosa.