Deje $X$ $X_0(N)$ $\overline{X}$ su base de cambio de a $\overline{\mathbb Q}$, vamos a $J$ $J_0(N)$ ser su Jacobiano y $\overline{J}$ su base de cambio de a $\overline{\mathbb Q}$. Para simplificar, voy a suponer que $N$ es primo. Voy a probar el siguiente resultado (o más bien, voy a mostrar cómo sigue de Deligne la prueba de la Ramanujan-Petersson conjetura):
Deje $ V =(V_\ell \overline{J})^\vee$ ser el doble de la $\ell$-ádico Tate
módulo de $J$. Entonces, para $p \nmid N$, $T_p$ actúa en $V \otimes_{\mathbb Q_\ell} \overline{\mathbb Q_\ell}$
con valores propios que son algebraicos sobre $\mathbb Q$, y cuya
valores absolutos se $\leq 2p^{1/2}$ en cualquier lugar de infinito
$\overline{\mathbb Q}$.
Hay un isomorfismo canónico
$$H^1_{ét}(\overline{X}, \mathbb Q_\ell) = V$$
entre los primeros a $\ell$-ádico cohomology de $\overline{X}$ y el doble de la Tate módulo de su Jacobiano. Este es un isomorfismo como $\ell$-ádico representaciones de Galois y como Hecke módulos. Esta representación es unramified en$p$$p \nmid N\ell$.
Elegir un isomorfismo $\iota: \overline{\mathbb{Q}_\ell} \to \mathbb C$. A continuación, tenemos la comparación de isomorfismo entre de Rham cohomology y $\ell$-ádico cohomology
$$H^1_{ét}(\overline{X}, \mathbb Q_\ell) \otimes_\iota \mathbb C \xrightarrow{\sim}H^1_{dR}(X(\mathbb C)/\mathbb C)$$
Hodge teoría da una descomposición
$$H^1_{dR}(X(\mathbb C)/\mathbb C) = H^0(X, \Omega^1_{X/\mathbb C}) \oplus \overline{H^0(X, \Omega^1_{X/\mathbb C})}$$
La observación de que el paso a los números complejos nos obliga a olvidarnos de los Galois de acción, pero conserva la Hecke acción, porque el Hecke acción se define a través de las correspondencias; moralmente hablando, el Hecke acción se produce en el nivel de las intenciones, y por lo tanto se mantiene en cualquier realización, de una manera compatible con la comparación isomorphisms.
Ahora, hay una canónicas de identificación
$$H^0(X_0(N), \Omega^1_{X/\mathbb C}) \cong S_2(N, \mathbb C),$$
el espacio de peso $2$ cúspide formas de nivel $\Gamma_0(N)$. Ahora el resultado se sigue de Deligne la prueba de la Ramanujan-Petersson conjetura. Desde $N$ es primo, tenemos $S_2^{\text{new}}(N, \mathbb C) = S_2(N, \mathbb C)$. La buena operadores de Hecke son simultáneamente diagonalizable en $S_2(N, \mathbb C)$, y el subespacio propio conectado a un sistema de Hecke autovalores tiene rango $1$, atravesado por un peso normalizado $2$ eigenform $\varphi$ de manera tal que, si $\varphi(q) = \sum_{n\geq 1} a_n q^n$,$T_p(\varphi) = a_p\varphi$$p \neq N$. Por Deligne, $|a_p|\leq 2p^{1/2}$. De ello se desprende que el operador $T_p$, $p \neq N$, actúa en $H^0(X, \Omega^1_X)$ con valores propios de valor absoluto $\leq 2p^{1/2}$.
Para obtener el mismo resultado en $$H^0(X, \Omega^1_{X/\mathbb C}) \oplus \overline{H^0(X, \Omega^1_{X/\mathbb C})},$$
la observación de que la acción de la $T_p$ viajes con complejo de conjugación, de modo que si $\varphi$ es un eigenform en $S_2(N, \mathbb C)$, su complejo conjugado $\overline{\varphi}$ es todavía un autovector por la buena operadores de Hecke; por otra parte, dado que el sistema de Hecke autovalores conectado a $\varphi$ toma valores en un total número real de campo, se deduce que el sistema de Hecke autovalores conectado a $\overline{\varphi}$ es el mismo que el que se adjunta a $\varphi$; en otras palabras, esto muestra que el $\varphi$-isotypic componente
$$H^1_{dR}(X(\mathbb C)/\mathbb C)^{\varphi}$$
es $2$-dimensional, y se compone de
$$(\varphi \cdot \mathbb C) \oplus (\overline{\varphi}\cdot \mathbb C).$$
De ello se desprende que $T_p$$p \nmid N$, actúa en $H^1_{dR}(X/\mathbb C)$ con valores propios de valor absoluto $|a_p| \leq 2p^{1/2}$. Pero aún más es cierto: todos los de la Galois conjugados $a_p^\sigma$ $a_p$ tienen valor absoluto $\leq 2p^{1/2}$, ya que el $a_p^{\sigma}$ $p$- ésimo coeficiente de Fourier de una eigenform, es decir,$\varphi^\sigma$. Por lo tanto, desde nuestro isomorfismo $\iota$ es la clausura algebraica de $\mathbb Q$ $\overline{\mathbb Q_\ell}$ a la clausura algebraica de $\mathbb Q$$\mathbb C$, el resultado de la siguiente manera.
