Me preguntaba si es posible demostrar que $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ es estrictamente decreciente en $(0, \pi]$ y estrictamente creciente en $[-\pi , 0)$ sin utilizar ningún derivado . Si es posible, ¿cómo?
Dejemos que $y=x+h$ donde $h>0$ . Queremos demostrarlo:
$$\frac{\sin(x+h)}{x+h}-\frac{\sin(x)}{x}<0$$
para $x,y \in (0,\pi]$ . Así que calculamos:
$$\frac{\sin(x+h)}{x+h}-\frac{\sin(x)}{x}=\frac{\sin(x+h)x-\sin(x)(x+h)}{x(x+h)}$$
Porque $x(x+h)>0$ es suficiente para demostrarlo:
$$\sin(x+h)x-\sin(x)(x+h)<0$$
A continuación utilizamos la fórmula para $\sin$ de la suma:
$$\sin(x)\cos(h)x+\sin(h)\cos(x)x-\sin(x)(x+h)<0$$
Pero:
$$\cos(h) \leq 1$$
Así que basta con demostrarlo:
$$\sin(x)x+\sin(h)\cos(x)x-\sin(x)(x+h)<0$$
Siguiente:
$$\sin(x)x+\sin(h)\cos(x)x-\sin(x)(x+h)=\sin(h)\cos(x)x-h\sin(x)$$
Así que es equivalente:
$$\frac{\cos(x)x}{\sin(x)}<\frac{h}{\sin(h)}$$
Pero $h>\sin(h)$ , por lo que es difícil de mostrar:
$$\cos(x)x-\sin(x)<0$$
(¡Nótese que el uso de las derivadas nos da la misma desigualdad a demostrar!) Podemos demostrarlo por cualquier método (por ejemplo, comparar $x$ y $\tan(x)$ en $(0,\frac{\pi}{2})$ , en $(\frac{\pi}{2},\pi)$ es evidente).
Por el producto Weierstrass: $$\frac{\sin x}{x}=\prod_{n\geq 1}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)$$ pero para cualquier $n\geq 1$ la función $f_n(x)=\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)$ es no negativo y decreciente sobre $\left[0,\pi\right]$ .
De ello se desprende que $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ es no negativo y decreciente sobre $\left[0,\pi\right]$ y sólo tenemos que notar que $f(x)$ es una función par para demostrar la afirmación.
Para Jack D'Aurizio, ¿Cómo podemos probar $\displaystyle \frac{\sin x}{x}=\prod_{n\geq 0}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right),$ Gracias
@juantheron: es un resultado muy conocido, se deduce de Teorema de factorización de Weierstrass . Sin recurrir a variables complejas, dicha identidad puede demostrarse explotando las factorizaciones de los polinomios de Chebyshev de primer y segundo tipo y tomando un límite.
Observe que
$$\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{x}\int_0^x \cos t\, dt.$$
Esta es la media de $\cos t$ en $[0,x].$ Ahora $\cos t$ es estrictamente decreciente en $[0,\pi].$ Así que si $0\le x <y \le \pi,$ la media sobre $[0,y]$ es menor que la media de $[0,x],$ simplemente porque estamos añadiendo a la mezcla valores estrictamente menores.
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Como la función es par, la afirmación sobre $[-\pi,0)$ se desprende de la afirmación sobre $(0,\pi]$ . Es necesario demostrar que si $0<x<y\leq \pi$ entonces $y\sin x-x\sin y>0$ .