Una identidad para la función coseno

Question

Sea $x = \pi/(2k+1)$, para $k>0$. Demuestra que
$$ \cos(x)\cos(2x)\cos(3x)\dots\cos(kx) = \frac{1}{2^k} $$

He confirmado esto numéricamente para $n$ de $1$ a $30$. Me está resultando sorprendentemente difícil utilizando la manipulación de fórmulas trigonométricas estándar. Incluso para el caso $k = 2$, necesité trabajar realmente en $\cos x$ por otros métodos para obtener el resultado.

Por favor, házmelo saber si tienes una demostración elegante.

Answer 1

Sea $S(x)=\prod_{j=1}^k \text{sin}(jx)$ y $C(x)=\prod_{j=1}^k \text{cos}(jx)$. Sea x = $\frac{\pi}{2k+1}$. Entonces $S(2x) = S(x)$ (de $\text{sin}(\pi-x)=\text{sin}(x)$), y $S(2x)=2^kS(x)C(x)$ (de $\text{sin}(2x)=2\text{sin}(x)\text{cos}(x)$), de donde se sigue el resultado.

Steve

Answer 2

Sugerencia: multiplicar por el pecado(x)

Answer 3

La forma habitual de hacer problemas como estos es mirar los coeficientes de los polinomios de Chebyshev. El polinomio $T_n$ grado $n$ tal que $T_n(2 \cos \theta) = 2 \cos n \theta$ cuenta con tecnología de plazo $1$, y queremos calcular algo así como la raíz cuarta del producto de las raíces de la $T_{2k+1}(x)^2 = 4$. Vieta fórmulas y reflexión de las identidades debe manejar desde aquí.

Answer 4

Otra prueba surge a partir de la identidad $$ \prod_{m=-k}^k\cos\left(t+\frac{m\pi}{2k+1}\right) = 2^{-2k}\cos((2k+1)t),\tag{1}$$ por poner $t=0$ y tomando la raíz cuadrada de ambos lados. Podemos deducir (1) de $$ \prod_{m=-k}^k \left(z\exp\left(\frac{m\pi i}{2k+1}\right)+z^{-1}\exp\left(\frac{-m\pi i}{2k+1}\right)\right)=z^{2k+1}+z^{-2k-1}\tag{2},$$ por poner $z=\exp(it)$. Finalmente, se puede demostrar (2) multiplicando ambos lados por $z^{2k+1}$ y el examen de las raíces de la resultante de dos polinomios en $z$.